计算机数学基础(下)数值部分辅导(3).doc

中央电大开放教育( ) 100031 北京复兴门内大街 160 号中央广播电视大学 TEL: 010-66412233-1319 FAX: 010-66419025 E-mail: ******@crtvu. 1 《计算机数学基础(下) 》数值部分辅导(3) 中央电大冯泰第11章函数插值与最小二乘拟合一、重点内容 1. 函数插值已知函数 f(x)的n 个函数值 y k=f(x k ),k =0,1,2, …,n 。构造一个多项式 P(x) ,使得 P(x k )=y k。 P(x) 就是插值多项式,f(x) 就是被插函数,x k 就是插值节点。误差 R(x )=f(x)- P(x)。 2. 拉格朗日多项式用n 次多项式 P n(x )=y 0l 0+y 1l 1+…+y nl n=?? nk kkly 0 其中基函数)() )(() )(( )() )(() )(()( 1110 1110njijijjj niijxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxl???????????????????,),,2,1,0(nj??当n =1 时,线性插值 P 1(x )=y kl k(x )+y k +1l k +1(x) 其中基函数 1 1)( ????? kk kkxx xxxl ,kk kkxx xxxl?????1 1)( 。当n =2 时,得到二次多项式,就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为)( )!( )()()()( )(xn fxPxfxR n nnn???????????其中),(ba??注意:过 n +1 个互异点,所得的多项式应该是次数不超过 n 的多项式。 3. 均差与牛顿插值多项式函数值与自变量的差商就是均差, 一阶均差?????????xx xfxfxxf )()(),( ( 或记作 f[x 0,x 1 ]); 二阶均差????????????xx xxfxxfxxxf ),(),(),,( ( 或记作 f[x 0,x 1,x 2 ]) 均差有两条常用性质: (1) 均差用函数值的线性组合表示; (2) 均差与插值节点顺序无关。用均差为系数构造多项式,就是牛顿插值多项式 N n(x )=f(x 0 )+f(x 0,x 1 )(x-x 0 )+f(x 0,x 1,x 2 )(x-x 0 )(x-x 1 )+ …+f(x 0,x 1,x 2,…,x n )(x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2)…(x-x n-1) 牛顿插值多项式的余项为 R n(x )= f(x) -N n(x)=f(x,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2)…(x-x n -1 )(x-x n) 4. 分段线性插值已知 n +1 个互异节点 x,x 1,…,x n, 构造一个分段一次的多项式 P(x), 且满足: (1) P(x)在[a ,b] 上连续; (2) P(x k )=y k(k =0,1,2, …,n ); (3)P( x)在[x k,x k +1] 上是线性函数。分段线性插值函数??? ni iixlyxP 1)()( 其中 l k(x )(k =0,1,2, …,n) 是分段线性插值基函数. 中央电大开放教育( ) 100031 北京复兴门内大街 160 号中央广播电视大学 TEL: 010-6