讲义 导数方法.doc

1 讲义:导数方法一. 知识构要导数作为研究以函数为主体的数学问题的主要工具, 有以下应用: 1 .研究单调性; 2 .求函数极值与最值; 3 .用导数的几何意义研究图像特征。另外,导数与证明不等式, 研究一些方程的解等问题联系密切. 这里我们将导数作为研究函数形态的主要工具选取例题说明。二. 典例剖析引入欣赏一道色香味俱全的导数“小题”【例 1】( 2009 年天津文) 设函数?? f x 在R 上的导函数为??' f x ,且???? 2 2 ' f x xf x x ? ?, 下面的不等式在 R 上恒成立的是( ) A.?? 0 f x ? B.?? 0 f x ? C.?? f x x ? D.?? f x x ?【解析】知识要点 1用导数研究单调性例2( 2010 年北京卷)已知函数 2 ( ) ln(1 ) 2 k f x x x x ? ???(k ≥ 0) ,求 f (x ) 的单调区间。【解析】【例 3】( 20 09 年浙江卷)已知函数 3 2 2 ( ) ( 1) 5 2 f x x k k x x ? ?????, 2 2 ( ) 1 g x k x kx ? ??,其中k?R ,设函数( ) ( ) ( ) p x f x g x ? ?.若( ) p x 在区间(0, 3) 上不单调... ,求 k 的取值范围; 【解析】知识要点 2用导数求极值或最值【例 4】已知函数( ) (1 ) xa f x e x ? ?,其中 0a?. (Ⅰ)求函数( ) f x 的零点;(Ⅱ)讨论( ) y f x ?在区间( , 0) ??上的单调性;(Ⅲ)在区间( , ] 2 a ???上, ( ) f x 是否存在最小值?若存在求出最小值;若不存在,请说明理由. 【解析】知识要点 3用导数研究函数图象【例 6】已知函数 3 ( ) f x x x ? ?. (1 )求曲线( ) y f x ?在点( ( )) M t f t , 处的切线方程; (2 )设0a?,如果过点( ) a b , 可作曲线( ) y f x ?的三条切线,证明: ( ) a b f a ? ??. 【解析】 22 【例 7】( 2007 年湖南卷)已知函数 3 2 1 1 ( ) 3 2 f x x ax bx ? ??在区间[ 11) ?, , (13] , 内各有一个极值点.(I)求24 a b ?的最大值;( II)当2 4 8 a b ? ?时, 设函数( ) y f x ?在点(1 (1)) A f , 处的切线为 l ,若l 在点 A 处穿过函数( ) y f x ?的图象( 即动点在点 A 附近沿曲线( ) y f x ?运动, 经过点 A 时, 从l 的一侧进入另一侧) ,求函数( ) f x 的表达式. 解析: 第二节构造辅助函数解题的魅力对于证明与函数有关的不等式, 或已知不等式在某范围恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等