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一般地,假设一元函数 y= f(x )在 x0 点的附近(x0 -a, x0+ a) 内有定义; 当自变量的增量Δx=x- x0,Δx→0 时函数增量Δy=f(x )- f( x0 )与自变量增量之比的极限存在且有限, 就说函数 f在 x0 点可导, 称之为 f在 x0 点的( 或变化率). 导数另一个定义:当 x=x0 时, f'(x0) 是一个确定的数。这样,当 x 变化时, f'(x) 便是 x 的一个函数,我们称他为 f(x) 的导函数( derivative function ) (简称导数)。 y=f(x) 的导数有时也记作 y' ,即(如右图) : 物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就匀速直线加速度运动为例位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度)、可以表示曲线在一点的斜率( 矢量速度的方向) 、还可以表示经济学中的边际和弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面( 比如切向量场) 的变化, 导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络, 人们就可以研究大范围的几何问题, 这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。注意: '(x)<0 是 f(x) 为减函数的充分不必要条件,不是充要条件。 2. 导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数, 没有增减性, 即没有极值点。但导数为零。( 导数为零的点称之为驻点, 如果驻点两侧的导数的符号相反, 则该点为极值点, 否则为一般的驻点,如 y=x^3 中f‘(0)=0 , x=0 的左右导数符号为正, 该点为一般驻点。) 导数的应用 1 .函数的单调性(1) 利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性, 这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想. 一般地,在某个区间(a, b) 内,如果 f'(x) >0,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增;如果 f'(x) <0,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递减. 如果在某个区间内恒有 f'(x)=0 ,则 f(x) 是常数函数. 注意:在某个区间内, f'(x) >0是 f(x) 在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件,如 f(x)=x3 在R 内是增函数,但 x=0 时 f'(x)=0 。也就是说,如果已知 f(x) 为增函数,解题时就必须写 f'(x) ≥0。(2) 求函数单调区间的步骤( 不要按图索骥缘木求鱼这样创新何言? 1. 定义最基础求法 2. 复合函数单调性)①确定 f(x) 的定义域; ②求导数; ③由(或)解出相应的 x f'(x) >0 时, f(x) 在相应区间上是增函数; 当 f'(x) <0 时, f(x) 在相应区间上是减函数. 2 .函数的极值(1) 函数的极值的判定①如果在两侧符号相同,则不是 f(x) 的极值点; ②如果在附近的左右侧符号不同,那么,是极大值或极小值. 3 .求函数极值的步骤①确定函数的定义域; ②求导数; ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点,即求方程及的所有实根; ④检查在驻点左右的符号,如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)