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2017-2-23 16:08 近世代数近世代数——绪论绪论初等代数、线性代数、高等代数都称为近世代数( modern algebra )也称为经典代数( classical algebra ),研究的对象是代数方程和线性方程组。抽象代数( abstract algebra ),研究的对象是代数系统(带有封闭运算的集合)。 2017-2-23 16:08 学****近世代数的意义学****近世代数的意义由于近世代数在数学的其他分支、近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用,因而它是现代科学技术的数学基础之一,是许多科技人员需要掌握的基本内容和方法,因此近世代数也是数学专业的专业基础课之一。 2017-2-23 16:08 几个有趣的应用实例几个有趣的应用实例 1. 项链问题 2. 分子结构的计数问题 3. 正多面体着色问题 4. 图的构造与计数问题 5. 开关线路的构造与计数问题 6. 数字通信的可靠性问题 7. 几何作图问题 8. 代数方程根式求解问题 2017-2-23 16:08 1. 1. 项链问题项链问题问题的提法: 用n种颜色的珠子做成有 m 颗珠子的项链, 问可做成多少种不同类型的项链? 这里所说的不同类型的项链,指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。 2017-2-23 16:08 数学上的确切描述数学上的确切描述设由 m 颗珠子做成一个项链,可用一个正 m 边形来代表它,它的每个顶点代表一颗珠子。 1 235 46 7 8 沿逆时针方向给珠子标号, 由于每一颗珠子的颜色有 n种选择,因而用乘法原理,这些有标号的项链共有 n m种。但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转 180 度使它们完全重合, 我们称为是本质相同的,我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。 2017-2-23 16:08 例例 1 1 用黑白两种颜色的珠子做成有用黑白两种颜色的珠子做成有 5 5颗珠子的项链颗珠子的项链利用枚举法,得到一共 8种不同类型的项链。随着 n、m 的增加,用枚举法解决越来越难, 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。 2017-2-23 16:08 2. 2. 分子结构的计数问题分子结构的计数问题在化学中研究由某几种元素可合成多少种不同物质的问题,由此可以指导人们在大自然中寻找或人工合成这些物质。例 2 在一个苯环上结合 H原子或 CH 3原子团, 问可能形成多少种不同的化合物? CH 3 CH 3HHH H 如果假定苯环上相邻 C原子之间的键是互相等价的,则此问题就是两种颜色 6颗珠子的项链问题。 2017-2-23 16:08 3. 3. 正面体着色问题正面体着色问题对一个正多面体的顶点或面用 n种颜色进下面以六面体为例说明此问题的数学描述。例 3 用n种颜色对六面体的面着色,问有多首先建立此问题的数学模型,将问题中的一些概念给以量化: 少种不同的着色方法? 行着色,问有多少种不同的着色方法? 2017-2-23 16:08 设n种颜色的集合为 A={a 1 ,a 2 ,…,a n} 正六面体的面集合为 B={b 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 ,b 5 ,b 6} 则每一种着色方法对应一个映射: f: B A ,反之,每一个映射对应一种着色法。由乘法原理,全部着色法的总数为 n 6,但这样的着色法与面的编号有关,其中有些着色法可适当旋转正六面体使它们完全重合,称它们本质相同,我们要求本质不同的着色法的数目。 2017-2-23 16:08 两种颜色两种颜色(红、绿) (红、绿) n=2 n=2 6面绿 1面红、 5面绿 2面红、 4面绿 3面红、 3面绿 4面红、 2面绿 5面红、 1面绿 6面红利用枚举法,得到一共 10 种不同的着色法。对于一般的情况,目前只能用群论方法解决。 1122211