课件8-7方向导数梯度.ppt

第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度一、问题的提出一块长方形的金属板,受热产生如图温度分布场. 设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行, 才能最快到达凉快的地点? 处, 解决方法: 应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行. 需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率, 从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念: 方向导数和梯度方向导数问题梯度问题怎样确定由热变冷变化最剧烈的方向? 讨论函数在一点 P沿某一方向的),(yxfz?二、方向导数 o yx l??( , ) z f x y ?设函数在点, x l ?设轴正向到射线的转角为 P P ?x? y??变化率问题. ( , ) ( ) P x y U P 的某一邻域内有定义, ( , ) P x x y y ? ??? ?并设l为上的另一点( ). P U P ??且 P l 自点引射线.?| | PP???,)()( 22yx????( , ) ( , ), z f x x y y f x y ?? ?????且 0 ( , ) ( , ) lim f x x y y f x y ?????? ???当沿着趋于时, P ?P l , z??考虑是否存在? 讨论函数在一点 P沿某一方向的),(yxfz?变化率问题. o yx l?? P P ?x? y???? fl ???( , ) ( , ) f x x y y f x y ? ?? ??函数的增量记为 o yx l P P ?如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点 2 2 ( ) ( ) PP x y ? ???? ?与两点间的距离之比值, P l 沿方向的方向导数. P l P ?当沿着趋于时, 定义?( , ) ( , ) f x x y y f x y ??? ??? 0 lim ??? 0 ( , ) ( , ) lim f f x x y y f x y l ????? ???????(1, 0) i??. yf 的方向导数为 0 ( , ) ( , ) lim f f x x y y f x y l ?? ????? ????? x? 0 xfx f???? 2 (0,1) e??同理,沿y轴正向的方向导数 x x ?????此时 x?在点沿着轴正向 x 若偏导存在,则),(yxfP xf xf?沿着 x轴负向的方向导数是( ) yf?(y轴) . ?偏导数存在沿任意方向的方向导数存在. 若方向导数存在,则偏导数未必存在?? 2 2 0, 0 z x y O l i ? ? ??例如,在处沿方向的方向导数?? 0,0. zx ??而偏导数不存在??)0,0(),( lim 0 )0,0(fyxfl z???????1)()( )()( lim 22 220?????????yx yx ?而偏导数是双侧极限. 原因: 方向导数是单侧极限, ?? 0 01 fl ???,,. ?偏导数存在沿任意方向的方向导数存在证明由于函数可微,则全增量可表示为)(),(),(?oyy fxx fyxfyyxxf??????????????方向导数的存在及计算公式则函数在该点沿任意方向 l的方向导数都存在, ),(yxfz?),(yxP 定理如果函数在点可微分, 且有?? sin cos y fx fl f?????????为x轴到方向 l 的转角. 其中计算公式?????)(),(),(oyy fxx fyxfyyxxf??????????????????),(),( lim 0yxfyyxxf??????. sin cos ??y fx f?????????l f )(),(),(?oyy fxx fyxfyyxxf??????????????故有方向导数两边同除以,?得到 x? y??? l? cos ? sin 0