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第 1单元微分方程及其解的定义(1) 一. 教学目标( 学****本单元知识所应达到的目的和要求) 1. 正确理解微分方程、常微分方程、微分方程的阶、线性微分方程与非线性微分方程、微分方程的解、微分方程的通解等基本概念. 2. 会验证所给函数是否是某方程的解, 会求解简单的常微分方程. 二. 知识点( 本单元所要学****的主要内容) 微分方程、常微分方程、微分方程的阶、线性微分方程与非线性微分方程、微分方程的解、微分方程的通解三. 教学重点、难点( 本单元的重、难点) 对基本概念的理解和掌握是本单元的重点, 也是难点. 四. ,为此我们先从代数方程说起. 在代数中我们研究过求解高次代数方程 0 01 11???????axaxaxa nn nn?. 代数方程——含有一个变元的关系式, 即由已知数 nnaaaa,,,, 110??与未知数 x 组成的等式,运算有: ,,,,????乘方, ??,它的解是数. 由代数基本定理知道,它的解只有有限个. 在数学分析中也研究过由隐式 0),(?yxF 确定的隐函数)(xy??的问题. 函数方程——至少含有两个变元的关系式,即由自变量 x 和函数 y 组成的等式. 运算有,,,,????函数运算, ??. 它的解是函数. 由隐函数存在唯一性定理知,解为有限个. 定义 1 所谓微分方程, 就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的某些微商的方程式. 或者说, 含有未知函数的导数或微分, 同时也可能包含有自变量与未知函数的已知关系式, 叫微分方程. 例如, tdt dx2?,)(0?dy ,)()0( 1 3???xxyxdx dy ,)( 21ydx dy??,)(x yyy??''' ,)( 0 ...??xax ,)(uy uyx ux??????,)( 以上这些都是微分方程. 只含一个自变量的微分方程称为常微分方程, 自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程. 例如, 上例)( —)( 都是常微分方程,)( 是偏微分方程. 方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数, 叫做方程的阶. 例如,)( ,)( ,)( ,)( ,)( 是一阶方程,)( 和)( 是二阶方程. 一般 n 阶常微分方程具有形式 0),,,,( )('? nyyyxF?)( 或者是显式),,,,( )1(')(?? nnyyyxfy?)( 由代数方程引出微分方程,问题是出现了什么新东西? 1 .微分方程的线性与非线性 1 )线性微分方程如果)( 式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是一次的有理整式, 则称)( 为n )非线性微分方程不是线性微分方程的, 阶线性常微分方程的一般形式是)()()()( )1(1 )(0xgyxayxayxa n nn??????,)10 .1( 其中)( ),(, ),( ),( 10xgxaxaxa n?都是已知的实值连续函数. 在上例中, )( ,)( ,)( ,)( ,)( 是线性的, )( ,)( 是非线性的. 2 .微分方程的解微分方