课外补充习题和自测题-多元实值函数的积分.doc

1. 设一金属薄片占有 xOy 平面上的区域 D , 薄片上连续分布着面密度为),(yx?的电荷,试用二重积分表示 D 上电荷的总量. 2. 利用二重积分的几何意义求下列积分的值: (1) ???? Ddyx? 224 ,?? 4),( 22???yxyxD , (2) ?? Dd?5 ,?? 0,1,1),(??????yxyyxyxD . 3. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1) ?? D xyd ?,?? 0,0,1),( 22?????yxyxyxD , (2) ???? Ddyx?)94( 22 ,?? 41),( 22????yxyxD . 4. 比较下列各组二重积分值的大小: (1) ??? Ddyx? 2)( 与??? Ddyx? 3)( ,?? 0,0,1),(?????yxyxyxD , (2)????? Ddyx? 2) ln( 与????? Ddyx? 3) ln( ,?? 32,21),(?????yxyxD . 5. 填空:设),(yxf 在平面区域 D 上连续, 且具有奇偶性, 则有(1) 区域 D 关于 x 轴对称,1D 为D 在上半平面部分, 则二重积分??????????????? DDyfyxfyxfdyxf yfyxfyxfdyxf. )(,(),(,),()( , )(,(),( ),(),(是偶函数) 关于即是奇函数) 关于即??(2) 区域 D 关于 y 轴对称,2D 为D 在右半平面部分, 则二重积分??????????????? DDxfyxfyxfdyxf xfyxfyxfdyxf. )(,(),(,),()( , )(,(),( ),(),(是偶函数) 关于即是奇函数) 关于即??(3) 区域 D 关于 x 轴或 y 轴均对称,1D 为D 在第Ⅰ象限部分, 则二重积分???????????????????? DDyxfyxfyxfdyxf yxfyxfyxfyxfdyxf ).,(),(),(,),()( ),,(),(),(),( ),(),(??或(4) 区域 D 关于直线 xy?对称, 则二重积分??dfdyxf DD),(),( ?????. 6. 根据第 5题“填空”的结果, 说明下列结论成立的理由: 设?? 1),(???yxyxD ,?? 0,0,1),( 1?????yxyxyxD , (1) ??????? DDdyxdyx) sin( 4) sin( 2222??, (2) ????????????? DDDDdydxdyxdyx???? 2222222)()( , (3) ??????? DD xyyxdede??. 7. 作出积分区域的图形, 确定积分次序, 计算下列二重积分: (1) ??? Ddyx?,?? 20,10),(?????yxyxD , (2) ?? D xyd xe?,?? 01,10),(??????yxyxD , (3) ??? Ddyx?) cos( ,????????yyxyxD0,0),( , (4) ?? Ddx yx? sin ,?? 10,0),(?????xxyyxD , (5) ?? D x yd e? cos ,???????????2 0, sin 0),( ?yyxyxD , (6)???de xy D yx ????)