课外补充习题和自测题-微分中值定理.doc

基本题 1. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的条件? 若满足, 则求出满足 0)( '??f 的?: (1) 3 2)(xxf?,?? 2,2?, (2)xxxf??1)( ,?? 1,0 , (3)??????????,10, ,01,2)( 3xx xxxf (4)2)1()(xxf??,?? 1,1?. )4 )(3 )(2 )(1()(?????xxxxxf , 不经过计算你是否能判定方程 0)( '?xf 有几个实根? 它们分别落在什么区间里? 为什么? 3. 证明方程 042 357?????xxxx 有且仅有一个实根. )(xf 和)(xg 在?? ba, 上连续,在),(ba 内可导,且0)()(??bgaf , 证明在),(ba 内至少存上一点?, 使得0)()()()( ''??????gfgf . 5.(1) 柯西中值公式的证明是否可以采用分子)(xf 和分母)(xg 分别使用拉格朗日中值公式来证明? 为什么? (2) 试求 2)(xxf?和3)(xxg?在区间?? 1,0 上各自使拉格朗日中值公式成立的点 1?和2?, 以及使)( )(xg xf 的柯西中值公式成立的点 3?. 6. 证明在区间),(ba 上)(xf 是常数的充分必要条件是 0)( '?xf , 并由此证明下列恒等式: (1)2 os arcsin ???xx ,1?x , (2)???? 21 2 arcsin arctan 2x xx ,1?x . 7. 应用拉格朗日中值定理, 证明下列不等式: (1)yxyx??? sin sin , (2)b bab aa ba???? ln)0(??ba , (3)xxx x??? arctan 1 2)0(?x , (4)8 1866 9 1???. 8. 设函数)(xf 在?? ba, 上连续,在),(ba 内二阶可导, 过点))(,( 1afaP 和))(,( 2bfbP 的直线与曲线)(xfy?相交于点))(,(cfcQ ,),(bac?, 试证在),(ba 内至少存在一点?, 使得 0)( "??f . 9. 求下列极限: (1)1 1 lim 1???x x nx , (2) 30 arctan lim x xx x??, (3)x x x cos ln lim 0?, (4)xx xx x sin tan lim 0???, (5)bx e xax sin lim 10 ??, (6)x x x arctan 2 1 sin lim ?????, (7) 4 202 1 cos lim x xx x???, (8)12 16 ) (arcsin lim 2 222 1???x x x?, (9) xx xxxdc ba???0 lim),(dcba??, (10) 302 lim x xee xxx????, (11))1( cos lim 0??? x xxex xe , (12)xx xee xxx sin 2 lim 0?????, (13))1( cos lim 0??? x xxex xe , (14) xxe x 100 lim ???, (15) 2) ln( lim bxa bea xx?????)0(?b , (16)x x x3 tan tan lim 2 ??,