大学数学概率论及试验统计第三版3-2.ppt

§ § 连续型随连续型随机变量的函数机变量的函数一、一维连续型随机变量的函数分布函数法求连续型随机变量的函数的分布. 步骤: 1 根据 X的分布计算出 Y的分布函数 F Y (y) ; 2 对F Y (y) 求导得到分布密度 f Y (y)的粗略形式; 3 讨论 Y地取值范围,求出 f Y (y)的准确表达式。( ) { } Y F y P Y y ? ? 2 { } P X y ? ?{ } P y X y ? ???)()(yFyF XX???.32 .0,e ,0,0)( 2 3 2 的概率密度和求随机变量的概率密度为设随机变量??????????XYXY xx xxf X x X解, 2 分布函数先求随机变量 XY?例1 ( ) ( ) Y Y p y F y ??( )( ) ( )( ) X X p y y p y y ? ?? ??? y yy y2 10e)(2 1 2)(3???????????????.0,0 ,0,2 ey y y y 再由分布函数求概率密度. 当Y =2 X +3 时,有32??xy ,2 3??? yx 32 ( ) ( ) [ ( )d ] y Y y X p y F y p x x ???? ?? ???????????????.3,0 ,3,)2 3(e)2 3( 2)2 3(3y y yy y???????????.3,0 ,3,e)2 3(2 1 2)2 3(3y y y y 二、二维连续型随机变量的函数( , ) ( , ), ( , ) ( ). Z X Y p x y Z f X Y p z ?的合概率密度求的分布密度设联为( ) { } { ( , ) } {( , ) } ( , )d d d d ( ) ( ) ( , )d d . d d zz ZzD Z Z D F z P Z z P f X Y z P X Y D p x y x y p z F z p x y x y z z ? ???? ??? ?????而: 从 d ( , )d z x x p x y y ?? ??? ???? ?( ( , )d )d z p x u x x u ??????? ?? ?( ) { } ( , )d d Z x y z F z P Z z p x y x y ? ?? ???? d ( , )d z y u x x p x u x u ??? ??? ????? ?令的分布 YXZ?? x yzyx??( , ) ( , ), ( ). Z X Y p x y Z X Y p z ? ?的合概率密度求的分布函设联为数为( ) ( , )d . z p z p z y y y ????? ??同理: d ( ) ( ) ( , )d d zZ F z p z p x z x x z ????? ???而: 从( ) ( ) ( )d ( ) ( )d . ( ) . Z X Y X Y z X Y p z p x p z x x p z y p y y p z p p ?? ???? ??? ???? ?? ?特别,当 X与Y独立时,有此式称为卷积公式,记为例1. YXZ,YX, ),(),(YX )( .YXZ,Y X,),(Y ,x,x )x(f ,X )( X的概率密度求相互独立和又设从均匀分布上服和分别在和设随机变量的概率密度求相互独立和且服从均匀分布在又设随机变量度为其概率密服从柯西分布设随机变量?????????????1001 2 11 1 1π 1 1 2解的概率密度为 Y)(1?????????.,0 ,11,2 1)( 其他 yyf Yxxzfxfzf YXZd)()()(???????