大工13秋《复变函数与积分变换》辅导资料七.doc

大连理工大学网络教育学院复变函数与积分变换辅导资料七主题: 第三章复变函数的积分 1—3节学****时间: 201 3年11月11日- 11月17日内容: 在复变函数中,积分法与微分法一样是研究复合函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。本周首先给出复变函数积分的概念、性质及其计算法,其次介绍关于解析函数积分的柯西积分定理(柯西—古萨定理) ,并将柯西积分定理从单连通区域推广到多连通区域,从而得到复合闭路定理。柯西积分定理和复合闭路定理是探讨解析函数性质的理论基础。在以后的章节中,直接或间接地经常要用到它们,所以我们要透彻地理解和熟练地掌握。其学****要求及需要掌握的重点内容如下: 1、理解复变函数积分的定义及性质 2、熟练掌握复变函数积分的计算 3、深刻理解柯西—古萨定理 4、了解复合闭路定理的解析性质、运算性质基本概念: 复变函数积分知识点: 复变函数积分的计算、柯西—古萨定理、复合闭路定理第一节、复变函数积分的概念(要求达到“领会”层次) 一、积分的定义定义: 设函数)(zf??在区域 D内有定义, C是区域 D内一条以 A为起点 B 为终点的一条光滑有向曲线。把曲线 C 任意分成 n 个小弧段,设分点为 BzzzzzA nkk???,,,,,, 110??,在每个小弧段),,2,1( 1nkzz kk???上任取一点 k?, 并作和式????????? nk kkk nk kknzfzzfS 1 11)() )((??。其中 1???? kkkzzz 。记?是所有小弧段弧长的最大值。当0??时,如果不论对 C的分法及 k?的取法如何, nS 都有唯一的极限,那么称函数)(zf 在C上可积,并称此极限值为函数)(zf??在曲线上的积分,记作?????? nk kkzfdzzf 1 0 C)( lim )(??(如下图)。大连理工大学网络教育学院沿C的负方向(由点 B到点 A)的积分记为? C)(dzzf 。若C为闭曲线,则将积分记为? C)(dzzf ,此时 C的正方向取为逆时针方向。显然,当C取x 轴上的一段 bxa??,而)(zf 为实函数时,这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。定理 1:设C 是复平面上光滑曲线,函数),(),()(yx ivyxuzf??在C上连续, 则积分? Cdzzf)( 存在,并且??????? CCCudy vdx i vdy udx dzzf)( 利用上式还可将复积分化为定积分来计算,设 C 的参数方程为???????tt iytxtzz ),()()( ,则有??????dttztzfdzzf C)( )]([)( 典型例题: 例1、计算? C zdz ,其中 C为从原点到点 3+4i 的直线段。解: 此直线方程可写作 10,4,3????ttytx 或10,43????ttitz 在C上,dtidztiz)43(,)43(????,于是 2 10 2 10 2)43(2 1)43()43(i tdt i tdt i zdz C?????????因 xdy ydx i ydy xdx idy dx iyx CC???????????) )(( 易验证,右边两个线积分都与路线 C 无关,所以? C zdz 的值,不论是对怎样的连接原点到 3+4i 的曲线,都等于 2)43(