定积分元素法.ppt

1 第一节定积分的元素法第二节平面图形的面积内容提要: 重点: 难点: 定积分的元素法,平面图形的面积的求法. 定积分的元素法,平面图形的面积的求法. 定积分的元素法, 第六章定积分的应用 2 x o yab )(xfy?和我们知道求由 0,,???ybxax )(xfy?所围成的曲边梯形的面积 A 须经过以下四个步骤: (2)近似计算: iiixfA???)(?); ( 1iiixx????;)()( 1 0 lim ??????? ba ni ii dx xfxfA??(4)取极限: (3)求和: ???? ni iixfA 1)(? iA????? ni iAA 1],[ba分成 n个小区间, (1)分割: 把设第 i 个小曲边梯形的面积为则: 第一节定积分的元素法 ix 1?ix3 (2)A对于区间[ a,b] 具有可加性,即整个曲边梯形的面积等于所有小曲边梯形面积的和。在上面的问题中,所求的量面积 A有如下性质: (1)A是一个与变量 x的区间[ a,b] 有关的量; ;)(?? badx xfA即: A的精确值, iixf?)(?近似代替部分量 iA?时,它们只相差一比 ix?高阶的无穷小,因此和式??? ni iixf 1)(?的极限就是(3)以 4 A?(3)写出 A的积分表达式,即: dx xfA ba)(??求A的积分表达式的步骤可简化如下: (1)确定积分变量 x及积分区间[a, b]; A?以 dx xf)(作为的近似值。],[dx xx?(2)在[ a,b] 上任取小区间即: dx xfdA)(? dx xf)(叫做面积元素,记为 dx xfA)(??x yo )(xfy?b a dx x?x dx dA 5 具体步骤是: 那么这个量就可以用积分来表示。( (叫做积分元素) )?? badx xfU)( (3)写出 U 的积分表达式,即: (1)根据具体问题,选取一个变量例如 x 为积分变量,并确定它的变化区间[ a,b] ; dx xf dU U)(???(2)在[ a,b] 上任取小区间 [x, x+ dx ],求出 U 在这个小区间上的近似表达式这种方法叫做定积分的元素法。一般地,如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件: (1)U是与一个变量 x的变化区间[a, b]有关的量; (2)U对于区间[a, b]具有可加性; iU?的近似值可表示为 iixf?)(?(3)部分量 6 一、直角坐标情形例1 计算由 2 2,xyxy??所围成的图形的面积。 这两条抛物线所围成的图形如图所示????? 2 2xy xy和得抛物线的两个交点)0,0()1,1( 取 x为积分变量,积分区间为]1,0[在上任取小区间],[dx xx?面积元素为.)( 2 dx xx dA??故所求面积为??.0 1)( 3 133 2 2 10 32 3?????? xxdx xxA yox )1,1(1 1 dx x?x 第二节 平面图形的面积解解方程组]1,0[, 7 注: 当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差,即 3 1 10 2 10????? dx xdx xAyox )1,1(1 1x yo dx x?x )(x?)(x?ba 所围成的图形的面积一般地,由)( ),(,,xyxybxax??????dx xxA ba???)]()([?? 8 x yo 例2计算抛物线 xy2 2?与直线 4??xy所围成的图形的面积。注:当然这个题也可以用元素法来解。这个图形如右图所示, 以y为积分变量,所求的面积为???? 18 2 42 44 )4( 6 2 42 22 1 42 3 2?????????????y yy dy ydy yA 解得交点??????4 2 2xy xy)2,2(?)4,8(解方程组)2,2(?)4,8(9 例3 求椭圆 1 2 22 2?? b ya x所围成的图形的面积利用椭圆的参数方程? tby tax sin cos ??应用定积分换元法,令 tax cos ?则: tdt a dx tby sin , sin???当x 由 0 变到 a 时, t 由 2 ?变到 0,所以: 1A 设椭圆在第一象限部分的面积为??? a ydx AA 0 144 ab ab tdt ab tdt ab dttatbA????????????????? 22 1 0 2 02 04 sin 4 sin 4) sin ( sin 4 2 2 2 1A 解则椭圆的面积为。椭圆变为圆, 时, 当 2aA ba???10 一般地,当曲边梯形的曲边: ]),[,0)((,baxxf??)(xfy?由参数方程?????)( )(ty tx??给出时, 则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知,