ECC算法入门.doc

ECC 加密算法入门介绍作者: G] E-Mail : zmworm@ 主页: Http://ZMWorm./ 前言同 RSA ( Ron Rivest , Adi Shamir , Len Adleman 三位天才的名字)一样, ECC ( Elliptic Curves Cryptography , 椭圆曲线密码编码学)也属于公开密钥算法。目前,国内详细介绍 ECC 的公开文献并不多(反正我没有找到)。有一些简介,也是泛泛而谈,看完后依然理解不了 ECC 的实质(可能我理解力太差)。前些天我从国外网站找到些材料,看完后对 ECC 似乎懵懂了。于是我想把我对 ECC 的认识整理一下,与大家分享。当然 ECC 博大精深,我的认识还很肤浅,文章中错误一定不少,欢迎各路高手批评指正,小弟我洗耳恭听, 并及时改正。文章将采用连载的方式,我写好一点就贴出来一点。本文主要侧重理论,代码实现暂不涉及。这就要求你要有一点数学功底。最好你能理解 RSA 算法,对公开密钥算法有一个了解。《近世代数基础》《初等数论》之类的书,最好您先翻一下,这对您理解本文是有帮助的。别怕,我尽量会把语言通俗些, 希望本文能成为学****ECC 的敲门砖。一、从平行线谈起。平行线,永不相交。没有人怀疑把:)不过到了近代这个结论遭到了质疑。平行线会不会在很远很远的地方相交了?事实上没有人见到过。所以“平行线,永不相交”只是假设(大家想想初中学****的平行公理,是没有证明的)。既然可以假设平行线永不相交,也可以假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点 P∞(请大家闭上眼睛,想象一下那个无穷远点 P∞, P∞是不是很虚幻,其实与其说数学锻炼人的抽象能力,还不如说是锻炼人的想象力)。给个图帮助理解一下: 直线上出现 P∞点,所带来的好处是所有的直线都相交了,且只有一个交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原来平面上的点叫做平常点。以下是无穷远点的几个性质。▲直线 L上的无穷远点只能有一个。(从定义可直接得出) ▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。(从定义可直接得出) ▲平面上任何相交的两直线 L1,L2 有不同的无穷远点。(否则 L1 和 L2 有公共的无穷远点 P,则 L1 和 L2 有两个交点 A、 P,故假设错误。) ▲平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线。(自己想象一下这条直线吧) ▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。二、射影平面坐标系射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系(就是我们初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系)的扩展。我们知道普通平面直角坐标系没有为无穷远点设计坐标,不能表示无穷远点。为了表示无穷远点,产生了射影平面坐标系,当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点(数学也是“向下兼容”的)。我们对普通平面直角坐标系上的点 A的坐标( x,y )做如下改造: 令 x=X/Z , y=Y/Z ( Z≠0);则 A点可以表示为( X:Y:Z )。变成了有三个参量的坐标点,这就对平面上的点建立了一个新的坐标体系。例 :求点( 1,2 )在新的坐标体系下的坐标。解:∵ X/Z=1 , Y/Z=2 ( Z≠0)∴ X=Z , Y=2Z ∴坐标为( Z:2Z:Z ), Z≠0。即( 1:2:1 )( 2:4:2 )( :: ) 等形如( Z:2Z:Z ), Z≠0的坐标,都是( 1,2 )在新的坐标体系下的坐标。我们也可以得到直线的方程 aX+bY+cZ=0 (想想为什么?提示:普通平面直角坐标系下直线一般方程是 ax+by+c=0 )。新的坐标体系能够表示无穷远点么?那要让我们先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识, 我们知道无穷远点是两条平行直线的交点。那么,如何求两条直线的交点坐标?这是初中的知识,就是将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是: aX+bY+c 1Z =0 ; aX+bY+c 2Z =0 (c 1≠c 2); (为什么?提示:可以从斜率考虑,因为平行线斜率相同); 将二方程联立,求解。有 c 2 Z= c 1 Z= -( aX+bY ),∵ c 1≠c 2∴ Z=0 ∴ aX+bY=0 ; 所以无穷远点就是这种形式( X: Y: 0 )表示。注意,平常点 Z≠0 ,无穷远点 Z=0 ,因此无穷远直线对应的方程是 Z=0 。例 :求平行线 L1 : X+2Y+3Z=0 与 L2 : X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。解:因为 L1 ∥ L2 所以有 Z=0 , X+2Y=0 ; 所以坐标为( -2Y:Y:0 ), Y≠0。即( -2:1:0 )( -4:2:0 )( -::0 ) 等形如( -2Y:Y:0 ), Y≠0的坐标,都表示这个无穷远点。看来这