江苏省西亭高级中学高中数学《4.2.1曲线的极坐标方程的意义课件 新人教A版选修4-4.ppt

曲线的极坐标曲线的极坐标方程的意义方程的意义 ? (直角坐标系中)定义? 1. 情境: 以极点 O为圆心, 1 为半径的圆上任意一点极径为1,反过来,极径为 1的点都在这个圆上。知识探究 : 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗? 因此, 以极点为圆心, 1 为半径的圆可以用方程ρ=1 来表示. 2 3、定义: 一般地, 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f ( ??, ??)=0;反之, 极坐标适合方程 f ( ??, ??)=0的点在曲线上, 那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程, 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线. 在直角坐标平面上,曲线可以用 x、y的二元方程 f (x , y )=0 来表示,,在极坐标平面上, 曲线也可以用关于?、??的二元方程 f( ??, ??)=0来表示, 这种方程称为曲线的极坐标方程. 3 由于点的极坐标表示不唯一,因此,在极坐标系中,曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标,但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程. 由于点的极坐标表示不唯一,:以极点 O为圆心, 1为半径的圆可以用方程??=1 表示,也可以用方程??=-1 表示. 说明: 4 例 1 求过点 A(2,0) 且垂直于极轴的直线的极坐标方程. 解:如图所示,在所求直线 l上任取一点 P( ??????), 连结 OP, 则 OP =?,∠ POA =?在 Rt △ POA 中,由于 OPcos ??= OA , 所以?? cos ??= 2, 所以?? cos ??=2为所求直线的极坐标方程. θ Ox ρ P(ρ, θ) A(2,0) 求曲线的极坐标方程: 类似于曲线直角坐标方程的求法,可以求曲线的极坐标方程. 变式训练 1:已知点 P的极坐标为(1, π),那么过点 P且垂直于极轴的直线极坐标方程. 5 例2 求圆心在 C(r,0), 半径为 r的圆的极坐标方程. 解:如图所示, P(ρ,θ) ρθ x A(2r,0) C(r,0) O则|OP| = |OA|cos ∠ POA 所以,所求圆的极坐标方程为??= 2rcos ?设 P ?????????为圆上任意一点,由于 OP ⊥ AP 即??= 2rcos ?|OA|=2r ,∠ POA =?6 变式训练 2:求圆心在 C(r, π/2), 半径为 r的圆的极坐标方程. 解: 如图所示,由题意可知,所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上,而圆周经过极点。设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为 A,则 A的极坐标为( 2 r, π /2). 设圆上任意一点为 P(ρ,θ),连结 PA ,则| OP |= ρ,∠ POx =θ在 Rt △ POA 中,由于 cos ∠ POA=|OP|/|OA| , cos( ) / 2 , 2 r ?? ?? ? sin / 2 , r ? ??即所以ρ= 2rsin θ为所求圆的极坐标方程。θ A(2r, ?2 ) C(r, ?2 ) x P(ρ,θ) O7 特别地, 我们知道,在直角坐标系中, x=k(k为常数)表示一条平行于 y轴的直线; y=k(k为常数)表示一条平行于 x (具体从略),在极坐标系中, ?=k(k为常数)表示圆心在极点、半径为 k的圆; θ=k(k为常数)表示极角为 k的一条直线(过极点) . 8 第一步建立适当的极坐标系; 第二步在曲线上任取一点 P ?????????第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式; 第四步用极坐标??、?表示上述等式,并化简得极坐标方程; 第五步证明所得的方程是曲线的极坐标程. 求曲线极坐标方程的基本步骤: 9 例 3 (1)化在直角坐标方程 x 2+y 2 -8y =0 为极坐标方程; (2)化极坐标方程ρ=6 cos ( ??-π/3) 为直角坐标方程. 数学运用 10