..直线的方向向量与直线的向量方程.ppt

在《数学 2——立体几何初步》中我们学****了空间里的平行关系,即线线平行、线面平行和面面平行。请同学们回忆一下它们的定义、判定定理和性质定理。用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行,平面与平面平行公理 4:在空间,平行于同一条直线的两条直线平行。线面平行的判定定理:平面外的一条直线如果和平面内的一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平行。面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交的直线平行于另一个平面,则这两个平面平行。在空间,我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢? 概念 、直线与平面平行,平面与平面平行 ,则 1l 2l 1??? 2???? 1 2 1 2 1 2 // // ? ???? ??? l l l l 或与重合 1l 2l 1??? 2???? 1 2 1 2 1 2 // ? ??? ??? ??? l l l l 或与重合也可写成设两个不共线向量和与平面共面,直线的一个方向向量为,则概念 、直线与平面平行,平面与平面平行 l 1??? 2???? 1 1 2 // , , ? ? ???? ?????? ????? l l x y R x y 或使l 1??? 2??????????推论:如果 A,B,C 三点不共线, 则点 M在平面 ABC 内的充要条件是,存在一对实数 x,y 使得成立。? ?????????????? AM xAB yAC 概念 、直线与平面平行,平面与平面平行 1 2 // // // ? ?????????? ???或与重合且 1??? 2?????设两个不共线向量和与平面共面,则 1??? 2??????概念 、直线与平面平行,平面与平面平行例子: 如图,正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1,点 M,N分别是面对角线 A 1B与面对角线 A 1C 1的中点。(1) 求证: MN//AD 1且; (2) 求证: MN// 侧面 AD 1 。AB C D A 1B 1C 1D 1 112 ? MN AD M N , O是B 1D 1的中点,求证: B 1C// 平面 ODC 1。 1 1 1 1 ? ABCD ABC D AB C D A 1B 1D 1C 1O 立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题,应用向量运算的方法,虽然证明过程书写较长,但因不添加辅助线而减少了思考时间。概念 (当夹角为 90°时) 设直线和的方向向量分别为和,则 1l 2l 1??? 2???? 1 2 1 2 1 2 0 ? ???? ??????? ???????? l l 2l 1??? 2????? 1l 设两条直线所成角为θ,则 1 2 cos | cos , | ? ??? ??????? 2???? 1??? 1l 2l 概念 : 如图,正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1,点 M,N分别是 B 1B与CA 1 的中点。求证: MN⊥BB 1;MN⊥A 1C 。AB C D A 1B 1C 1D 1M N 概念 : 已知三棱锥 O-ABC( 如图),OA=4 ,OB=5 ,OC=3 , ∠AOB= ∠BOC=60 °,∠COA=90 °,M,N分别是棱 OA,BC的中点,求异面直线 MN与AC所成角的余弦。 OAB C MN 四、,已知矩形 ABCD ,PA⊥平面 ABCD ,M,N分别是AB,PC的中点, ∠PDA= θ,能否确定θ,使直线 MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定,求出θ的值;若不能确定,说明理由。 D A BC PNMθ