..立体几何中的向量方法一：平行和垂直-数学选修-.ppt

立体几何中的向量方法——方向向量与法向量 l ?A ?P a ?,直线上的非零向量叫做直线的方向向量 AP t a ????? ?一、方向向量与法向量? 2、平面的法向量 A a ?lP 平面α的向量式方程 0 a AP ?? ?????换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 ox y zA B C O1 A1 B1 C1 , 正方体的棱长为 1 ⑴直线 OA的一个方向向量坐标为___________ ⑵平面 OABC 的一个法向量坐标为___________ ⑶平面 AB 1C 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (0,0,1) (1,0,0) 解: 设平面 ABC 的一个法向量为( , , ) n x y z ??练****如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥底面 ABCD , PD=DC=1 ,E 是 PC 的中点, 求平面 EDB C D PE 解:如图所示建立空间直角坐标系. (0,0,0), (0,0,1), 1 1 (0, , ) 2 2 P E 依题意得D B(1,1, 0) 1 1 (0, , ) 2 2 DE ???????? DB =(1,1, 0)X Y Z 设平面 EDB 的法向量为( , ,1) n x y ??, n n DE DB ? ?? ?????????则?? 1 1 0 1, 1, 1 2 2 0 yn x y ?? ???????? ???于是因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置,所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系. 用向量方法解决立体问题二、立体几何中的向量方法——证明平行与垂直 ml a ?b ?(一) . 平行关系: