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简单的三角恒等变换(二) 函数的性质及应用 sin cos y a x b x ? ?重难点:把形如的三角函数式化成一个三角函数的形式. sin cos y a x b x ? ?复****引入:回忆两角和与差的三角函数公式、:求函数的最大值、最小值和周期,其中 a、b是不同时为零的实数. sin cos y a x b x ? ?可写为 sin cos y a x b x ? ? 2 2 2 2 2 2 sin cos . a b y a b x x a b a b ? ?? ? ?? ?? ?? ?其中 2 2 2 2 cos , sin . a b a b a b ? ?? ?? ? 2 2 2 2 sin cos (cos sin sin cos ) sin( ). y a x b x a b x x a b x ? ??? ?? ? ?? ? ?则解析 2 2 sin cos sin( ), y a x b x a b x ?? ????由所以函数的最大值为,最小值为,周期是. sin cos y a x b x ? ? 2 2 a b ? 2 2 a b ? ? 2?注:此结论可作为公式记住,可方便解题. 例3 求函数的周期,最大值和最小值. sin 3cos y x x ? ?分析:利用三角恒等变换,把函数式化成形式,再求相应的值. sin( ) A x ??解: 1 3 sin 3cos 2 sin cos 2 2 2 sin cos cos sin 2sin . 3 3 3 y x x x x x x x ? ?? ? ??? ?? ?? ?? ??? ???? ???? ???? ???所以,所求函数是周期为,最大值为 2,最小值为-2. 2?例4 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为的扇形, C是扇形弧上的动点, ABCD 是扇形的内接矩形. 记,求当角取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 3 ? COP ?? ?? OAB P C QD?分析:要求当角取何值时,矩形 ABCD 的面积 S最大,可分二步进行: (1)找出 S与之间的函数关系;(2)由得出的函数关系,求 S的最大值. ??解: 在中, Rt OBC ? cos , sin . OB BC ? ?? ? Rt OAD ?在中, tan60 3. DA OA ? ??所以所以 3 3 3 sin . 3 3 3 OA DA BC ?? ?? 3 cos sin . 3 AB OB OA ? ?? ???设矩形 ABCD 的面积为 S,则 2 3 3 cos sin sin sin cos sin . 3 3 S AB BC ? ?????? ?? ????? ?? ?? ??求类似函数的最值,应先降幂,再化成型的三角函数求最值. 2 2 sin sin cos cos y a x b x x c x ? ? ? sin( ) A x ??由二倍角公式的变形,降幂升角,得 1 3 1 3 3