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幂级数1幂级数的运算小结思考题作业 power series 幂级数幂级数及其收敛性函数项级数的概念第 11章无穷级数 幂级数2 ????0n nx 级数????)( 1xu n n如函数项级数.??????)()()( 21xuxuxu n???? 21xx 一、函数项级数的概念设u 1(x ), u 2(x ), …, u n(x ), …为定义在(a, b)内的函数数列, 则称为定义在(a, b)内的 幂级数3 ),,( 0bax?设若数项级数 0x 收敛(或发散)则称 x 0为函数项级数)( 1xu n n???的收敛点(或发散点).函数项级数的)( 1xu n n???所有收敛点(或发散点)称为其收敛域(或发散域).)( 1???n nu 幂级数4 例讨论级数的敛散性. )0( 1????xn x n n解 n nnu u 1 lim ???当 0 < x < 1 时, 当x > 1 时,当x = 1时, xn n n1 lim ????n x n x n nn1 lim 1?????发散,发散, x?级数是调和级数, 收敛,收敛域为(0,1); 发散域为.),1[ ?? 幂级数5 {s n(x )}为函数项级数),()( lim xsxs nn???和函数.)( 1xu n n???的前 n项和若极限),(bax?存在,的)( 1xu n n???称为函数项级数数列,)()()(xsxsxr nn????????)()( 21xuxu nn)( 1xu i in?????0)( lim ???xr nn 在收敛域上,为函数项级数的余项或余和. 显然有当n充分大时, 称差),()(xsxs n?误差为.|)(|xr n 则s(x) 幂级数6 如,???????? 201xxx n n 它的收敛域为,1||?x ||?x 等比级数在收敛域内和函数是,1 1x?即有,1 1 1x x n n?????).1,1(???x 幂级数7 例 n x n n n 3 1 1)1(?????解由比值(达朗贝尔)判别法 n nnu u 1 lim ???3x ????? 31 lim xn n n (1) 当时, 1?x原级数(2) 当时, 1?x原级数 n x n x n nn 3 331 lim ?????绝对收敛;发散. 求函数项级数的收敛域. 幂级数8 级数为, 1)1( 1 1n n n?????条件收敛级数为, 1 1???? nn发散总之, 所讨论的级数的收敛域为区间,1,1时即???xx,1时?x,1时??x (3) 1?x当 n x n n n 31 1)1(?????].1,1(?把函数项级数中的变量 x视为参数, 通过常数项级数的敛散性判别法,哪些 x 值发散, 些x 值收敛, 来判定函数项级数对哪这是确定函数项级数收敛域的基本方法. 幂级数9 1. 定义,0 0时当?x, 0 nn nxa???如下形式的函数项级数 nn nxxa)( 00????称为的幂级数,的幂级数.)( 0xx? nn nxxa)( 00?????称为 x ????????? nnxxaxxaa)()( 0010二、幂级数及其收敛性其中),2,1,0(??na n为幂级数的系数. 幂级数10 ???????? 201xxx n n,1||时当?x,1||时当?x 级数);1,1(?).,1[]1,( ??????收敛;发散;收敛域发散域