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第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 27 February 2017 27 February 2017 第第1 1页页§ § 概率的性质概率的性质第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 27 February 2017 27 February 2017 第第2 2页页概率的定义概率的定义( , ) F P F P ?定义:设是可测空间,是定义在上的函数。如果满足下面的条件 A F P A ? ?(1) 对, ( ) 0 ;(非负性) (2) ( ) 1 P ??;(正则性) 1 2 11 (3) , , , ( ) ( ) j j jj F A A P A P A ????????对于中互不相容的事件;(可列可加性) 就称 P为F上的概率测度,简称为概率,称(?,F,P) 为概率空间. 第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 27 February 2017 27 February 2017 第第3 3页页性质 P(φ)=0. 注意:逆不一定成立. 第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 27 February 2017 27 February 2017 第第4 4页页性质 ( 有限可加性) 若 AB =φ,则 P(A?B ) = P(A )+P(B ). 可推广到 n ( 对立事件公式)P ( )=1 ?P(A ). 概率的可加性概率的可加性 A 第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 27 February 2017 27 February 2017 第第5 5页页(1) Φ=Φ+Φ+ Φ+… P(Φ)= P(Φ+Φ+ Φ+…)= P(Φ) + P (Φ)+P (Φ)+…(公理 3可列可加性)P (Φ)=P (Φ)+ P (Φ)+…,故P (Φ)=0 (2) A 1 + A 2 + … + A n = A 1 + A 2 + … + A n + Φ + Φ+… P (A 1 + A 2 + … + A n )= P( A 1 + A 2 + … + A n + Φ + Φ+…) = P(A 1) + P ( A 2) + … + P(A n ) + P(Φ) + P( Φ) + …故P(Σ A i )= Σ P(A i ) (i =1,2, …,n ). (3) A 1,A 2,…,A n, …构成一个完备事件组,即它们互不相容,且Σ A i = Ω. 所以,Σ P(A i ) = P(Σ A i )= P(Ω)= 1. 概率性质的证明概率性质的证明第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 27 February 2017 27 February 2017 第第6 6页页性质 若A?B,则 P(A?B ) = P(A)?P(B); 若A?B,则 P(A ) ?P(B ). 性质 P(A?B ) = P(A)?P( AB ). 概率的单调性概率的单调性第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 27 February 2017 27 February 2017 第第7 7页页 (6) P(A?B ) = P(A )+P(B)?P( AB ) P(A?B?C ) = P(A )+P(B )+P(C ) ?P( AB )?P( AC )?P( BC ) + P( ABC ) 概率的加法公式概率的加法公式第一章第一章随机事件与概率随机事件与概率 27 February 2017 27 February 2017 第第8 8页页 B B (4) (4) A A 概率性质的证明概率性质的证明(4): 思路:将B化为两个互不相容事件的和后,用性质 2. ①B = ( B -A )+ A, 且 B -A与A互不相容, P (B )= P( B -A ) + P(A ) . P (B-A )=P(B)-P(A)②再由非负性公理, P( B -A ) ≥ 0,可得 P(B)≥P(A ) . (6): 思路:利用两个互不相容事件和的公式 A+B=A +(B- AB )(利用图形直观理解!) P(A+B )=P(A +(B- AB ))= P(A )+P(B- AB )=P