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2017-2-27 1第三章线性方程组§ 向量的线性相关性 2017-2-27 2返回返回一、 n维向量及其线性运算二、向量间的线性关系 2017-2-27 3 定义 n个数 a 1,a 2,…,a n组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个 n维向量,记为??????????????? na a a... 2 1?列向量其中第 i个数 a i称为向量的第 i个分量.?列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵. ),,,( 21n Taaa???行向量一、 n维向量及其线性运算 2017-2-27 4 基本单位向量组: ).1,0,,0,0( ),0,0,,1,0( ),0,0,,0,1( 2 1??????????? n???零向量: 0=(0,0, …,0) T负向量: 向量相等: 设;),,,( 21 Tnaaa???????,),,,( 21 Tnaaa??? Tnbbb),,,( 21???若则,,,2,1,niba ii???.???称为的负向量?一组同维的行向量(列向量),称为向量组. 2017-2-27 5 定义 ,),,,( 21 Tnaaa??? Tnbbb),,,( 21???设向量加法向量数乘;),,,( 2211 Tnnbababa??????????k Tn ka ka ka),,,( 21?. 向量的线性运算: 2017-2-27 6 设, , , , , k l ???是向量是常数则(ⅰ) ???????; ( ⅱ) ???????????)()( ; ( ⅲ) ????0 ; ( ⅳ) 0???)(??; ( ⅴ) ???1 ; ( ⅵ) ??)()( kllk?; ( ⅶ) ????kkk???)( ; ( ⅷ) ???lklk???)( .返回这两种运算满足以下八条运算规律: 满足以上 8条性质的向量加法、数乘两种运算, 称为向量的线性运算. 2017-2-27 7 例1 设如果 4维向量满足,求. 1 2 ( 1, 4, 0, 2), ( 3, 1, 2, 5) ? ?? ? ???? 1 2 3 2( ) 0 ? ??? ????解由已知得: 1 2 2 3 2 ? ??? ????????????? 1 2 1 3 2 21 3 1, 4, 0, 2 2 3, 1, 2, 5 21 3,12, 0, 6 6, 2, 4,10 23 , 7, 2, 8 2 ? ??? ?? ?? ?????? ?? ?? ? ????? ?? ?? ??? ?? ? 2017-2-27 8 向量与方程组线性方程组??????????????????? mn mn m m nn nnbxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa??????????? 2211 222 22 1 21 112 12 1 11 若令??????????????? mj j jja a a? 2 1?,nj,,2,1??; ??????????????? mb b b? 2 1?——方程组的向量形式 2017-2-27 9 一组同维的行向量(列向量),称为向量组. 设A 为nm?矩阵,??????????????? mn m m n naaa aaa aaaA??????? 21 2 22 21 1 12 11 , 向量与矩阵显然,矩阵 A既对应一个行向量组,又对应一个列向量组: 12 TTTmA ???? ?? ?? ??? ?? ?? ?? 1 2 ( , , , ), 1, 2, , T i i i in a a a i m ?? ?? ?其中 12, jjj mjaaa ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? 1, 2, , j n ?? 1 2 ( , , , ) n ? ? ??? 2017-2-27