.向量组的线性相关性.ppt

上页下页铃结束返回首页一、向量组线性相关性定义的引入例:方程组中,如果第 3个方程是第 1个方程的 2 倍与第 2个方程的和,这个关系用向量表示为即 2132????? 向量组的线性相关性)3,2,1()1,1,1(2)5,4,3(??这时我们说或者的线性组合, 是, 213???说可用线性表示,即第 3个方程是多余的,一般地有: 3? 21,??上页下页铃结束返回首页 mm???????????? 2211按此定义,方程组中有没有多余方程,等价于方程组对应的行向量组中有没有向量能由其余向量线性表示. 定义 m???,,, 21?,使得存在一组数则称向量?是向量 m???,,, 21?的线性组合, 或称向量?可由向量 m???,,, 21?线性表示. m???,,, 21?是m个n维向量,如果假定上页下页铃结束返回首页 m???,,, 21?如果在 m个向量中,有一个向量是其余 m- 1个向量的线性组合,则有???????? mmkkk? 2211 (4) 反之,假定(4) 中的系数不全为零,则m个向量 m???,,, 21?中必有一个向量是其余 m- m≠ 0, 则有 1 12 21 1??????? mm m mm mk kk kk k?????其中系数不全为零. mkkk,,, 21?上页下页铃结束返回首页即 121,,, ?m m?????是的线性组合. m???,,, 21?中有一个向量是其余 m-1个向量的线性组合的充分必要条件是:, 1k mkk,, 2?, n维向量组 m???,,, 21?,如果存在一组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,…,k m,使得0 2211???? mmkkk????(4) 则称向量组 m???,,, 21?是线性相关的, 因此,m个向量满足(4) 的系数因此,我们有: 定义:上页下页铃结束返回首页二、线性相关与线性无关定义 :设α 1,α 2,…,α m为m个n维向量, 若存在不全为零的 m个数 k 1,k 2,… k m 使得等式 k 1α 1 + k 2α 2 + … + k mα m = 0 成立,则称向量组α 1, α 2,…,α k 1α 1 +k 2α 2+…+k mα m =0 成立的不全为零的数 k 1,k 2,…,k m,就称向量组α 1,α 2,…,α :(证明几个向量线性无关常用此定义) 如果 k 1α 1 +k 2α 2+…+k mα m =0 可推出 k 1 = k 2 = … = k m = 0,则称向量组α 1,α 2,…,α m线性无关. 5 上页下页铃结束返回首页 2、定理:对于列(行)向量组α 1,α 2,…,α m,设矩阵 A是由向量组拼成的矩阵 A = (α 1,α 2,…,α m)或 A = (α 1 T,α 2 T,…,α m T)则: 若 r (A) <m,即矩阵的秩小于向量的个数,则向量组线性相关; 若 r (A) = m ,即矩阵的秩等于向量的个数,则向量组线性无关. 证明:齐次方程组 x 1α 1 +x 2α 2+…+x mα m = 0 有非 0 解时α 1α 2…α m线性相关此时 r (α 1α 2…α m ) < m 即是 r (A) < m 齐次方程组 x 1α 1 +x 2α 2+…+x mα m = 0 只有 0 解时α 1α 2…α m 线性无关此时 r (α 1α 2…α m ) = m 即是 r (A) = m 6 上页下页铃结束返回首页 1 2 (1, 0, , 0), (0,1, , 0), , (0, 0, ,1) n e e e ? ??? ???例:维向量组可拼成一个 n阶单位矩阵,其秩为 n, 因而 e 1 , e 2 , …, e n 线性无关. 推论 1:对于 n个n维向量α 1α 2…α n (1) 如|α 1α 2…α n | ≠0,则α 1α 2…α n线性无关; (2) 如|α 1α 2…α n | = 0, 则α 1α 2…α n线性相关. 推论 2:多于 n个n维向量必然是线性相关的. 证明:设有 m个n维列向量α 1α 2…α m, 且 m > n 令 A = ( α 1α 2…α m ) A 是n×m矩阵∴ r (A) ≤ n < m ∴α 1α 2…α m线性相关证毕 7 上页下页铃结束返回首页下列各向