.平面向量的数量积.ppt

Fs ?┓ ba OA OB 已知两个非零向量 a、b,=a,= b. 则∠ AOB 称作向量 a和向量 b的夹角, 记作<a ,b> .并规定 0≤<a ,b > ≤π BOA 复****回顾如图,等边三角形中,求(1) AB 与 AC 的夹角; (2) AB 与 BC 的夹角。 A B C通过平移变成共起点! ? 120?60 'C练****1 (1)求两向量的夹角,应保证两个向量有公共起点,若没有, 须平移使它们有公共起点;ba BOA OAa BbBb aOA A aO Bb (2)〈a ,b〉=〈b ,a〉; (3)范围 0≤〈a ,b〉≤π; (4)〈a ,b〉=0 时, a、b同向; 〈a ,b〉=π时, a、b反向; 〈a ,b〉= 90 °时, a ⊥b. 几点说明如果一个物体在力 F作用下产生位移 S,那么 F所做的功为:θ表示力 F的方向与位移 S的方向的夹角。位移 S OA θ F FθS W=│F ││ S│COS OAa ? Bb | a || b | cos ?. │F│COS θ 1. : : (1) 夹角:?. (2) 数量积:a·b =| a || b | cos ?.已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为?,把数量|a | · |b |cos ?叫做 a与b的数量积.(或内积) 记作:a· b. OAa Bb? a b注意注意: ?“·”不能省略不写,也不能写为“×”,数学中“a×b”表示两个向量的向量积(或外积). ?a·b表示数量而不表示向量,与实数 a·b不同, a+b、a-b表示向量. ?规定: 0 ·a =0. 数量积:a·b =| a || b | cos ?已知|a |=5,| b |=4, a和b的夹角为 60°,求a··b =|a|·|b |cos ?变式练****变式练****若θ=120 °呢? θ=90 ° 呢? a⊥b呢? a∥b呢? =5 ×4× cos60 ° =10. 例1 (2) 当a与b同向时,a·b =|a ||b |;当a与b反向时,a·b=-|a ||b| 特别地,a·a =a 2 =| a | 2或| a |=√a·a . 2. : : 设a,b都是非零向量, ?是a与b的夹角,则?| a || b | cos ?=0 ? a · b =0 向量 a与b 共线?| a·b |=| a || b | a·b =| a || b | cos ?(1) a⊥b?a·b =0 . (4)| a·b |≤| a || b |. (3)cos ?= . |a | |b |a · ·b a⊥b??= ? cos ?=0 ?2 设|a |=12,| b |=9, a·b=-54√2 求a和b的夹角. cos ?= a·b|a|·|b| = , - 54 √ 2 12 ×9-√2∴?=135 °. = , 2 cos ?变式练****变式练****若a·b =108 √ 2 呢? 例2