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平面向量的数量积平面向量的数量积一、知识梳理: 1、数量积的定义: ? cos | |||baba???????0,范围是的夹角和是其中 ba注意:两个向量的数量积是数量,而不是向量. ),,( 11yxa?),( 22yxb?2、数量积的几何意义: . cos 的乘积的方向上的投影在与的长度等于数量积?babaaba?? cos ||b a b? BA O 2121yyxx??注意:向量的投影是数量,不是向量. 注意的几个问题; ——两个向量的数量积与两个向量的向量积、两个实数的积有很大区别。?. 两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos ?的符号所决定。?. 两个向量的数量积称为内积,写成a?b; 以后还要学到两个向量的向量积称为外积, 写成 a×b ;而 ab 是两个实数的积,书写时要严格区分。注意的几个问题; ——两个向量的数量积与两个向量的向量积、两个实数的积有很大区别。?. 两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos ?的符号所决定。?. 两个向量的数量积称为内积,写成a?b; 以后还要学到两个向量的向量积称为外积, 写成 a×b ;而 ab 是两个实数的积,书写时要严格区分。 3、数量积的主要性质及其坐标表示: ?? 001 2121???????yyxxbaba????????????反向时, ,当同向时, ,当时, 当baba babababa //.2 21 21 2,)3(yxaaaaaa???????? 22 22 21 21 2121 cos 4yxyx yyxxba ba????????),(是两个非零向量 ba ?? baba???5 4、数量积的运算律: ⑴交换律: abba???⑵对数乘的结合律: )()()(bababa????????⑶分配律: cbcacba??????)(注意: 数量积不满足结合律)()(:cbacba???即数量积不满足消去律 cbcaba????推不出即:000????abba或也推不出二、基础训练题: 等于则, ,且的夹角是与向量若平面向量 b b ab53||180 )2,1(.1????(A) (-3,6) (B) (3,-6) (C) (6,-3) (D) (-6,3) 的夹角是与,则且已知bababa36 )5 1()3(12 ||,10 ||.2???????????? BC AB AB A ABC Rt则中, 在,1,90 .3的投影为方向上在向量则向量, 已知点 BC AB CBA ),1,3( ),3,1()1,6(.4 ( ) A ?120 -1 2 27???, 1:平行且方向相同与因为解 BC ??的夹角为与 BC AD91330 cos?????????? BC AD BC AD ??且方向相反平行与,.2 CD AB ???180 的夹角是与 CD AB?? 16 144180 cos???????????? CD AB CD AB ??,60 .3 ?的夹角是与 AD AB ???120 的夹角是与 DA AB62 134120 cos?????????????????? DA AB DA AB 三、问题探究进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。?120 问题 1、?? BC AD DAB AD AB ABCD ??????.1: ,60 ,3,4,,求已知中在平行四边形如图?? CD AB ?.2?? DA AB ?.3B A C D ?60 .夹 ba)b2-a7()b4-a( )b5-a7()b3+a( ba2设角的与垂直,求与垂直, 与是两个非零向量,若、问题 1、数量积为零是两个向量垂直的充要条件 2、在未知数过多的情况下,注意消元、减元。 1、数量积为零是两个向量垂直的充要条件 2、在未知数过多的情况下,注意消元、减元。解、由已知得 0)57()3(????baba0)27()4(????baba,2,23 46 2 2bbabba????即两式相减得, 代入上式得 22||||ba?即| ||| cos ba ba ba ????, 60 180 0???????的夹角为与,即= , 又ba?? 2 1|| 2???b ba , 22ba? 015 16 7 2 2????bbaa0830 7 2 2????bbaa即的坐标。的向量且模为夹角相等, 和问题 c )3,1(b)1,3(a2 3、求与向量???则解:设),,(yxc?,3),()1,3(yxyxca??????.3),()3,1(yxyxcb?????则, 的夹角分别为, 与设,?? bac.