.微分法的几何应用.ppt

定义1:设L 为一空间曲线, LM M?, ?。当点M 沿曲线 L 趋近于点?M 时,割线MM ?的极限位置TM ?,称为曲线 L 在点?M 处的切线。过点?M 且与切线TM ?垂直的平面,称为曲线 L 在点?M 处的法平面。 空间曲线的切线与法平面x y zo MM 0LT § 微分法的几何应用设空间曲线为 L:????????)( )( )(tzz tyy txx ,且)(tx 、)(ty 、)(tz 可微。当?tt?及ttt????时, L 上对应的两点为),,( ????zyxM ,及),,(zzyyxxM?????????, 则割线MM ?的方程为z zzy yyx xx???????????上式分母除以t?,得t z zzt y yyt x xx??????????????, 切线的方向向量??)( ),( ),( ???tztytxa ????。当点?M M?时,有0??t ,对上式取极限,得)()()( ??????tz zzty yytx xx????????①故曲线处的法平面方程在点?M L ) )(() )(() )((???????????????zztzyytyxxtx ②例1 .求螺旋线????????2 sin 2 cos 2 tz ty tx 上对应于4 ??t 的点 M 处的切线与法平面方程。解:当4 ??t 时,点 M 的坐标为)4 2,2,2(?。∴螺旋线在点 M 处的切线方程为 2 4 22 22 2 ??????? zyx , 即1 4 21 21 2 ??????? zyx ; ∵ttx sin 2)(???,tty cos 2)(??,2)(??tz , ∴2)4 (????x ,2)4 (???y ,2)4 (???z , 螺旋线在点 M 处的法平面方程为0)4 2(2)2(2)2(2????????zyx , 即02444?????zyx 。注:(1 )只要与??)( ),( ),( ???tztytx ???成比例的向量均可作为切线的方向向量。(2 )若曲线方程为)(xyy?,)(xzz?,则以 x为参数, 曲线),,( ????zyxM 处的切线方程)()(1 ?????xz zzxy yyxx???????。③例2 .求曲线 L:??????? 2 2 12 16xz xy 在对应于2 1?x 的点处 M 的切线方程与法平面方程。解:以 x为参数,得曲线 L 的参数方程:????????2 212 16xz xy xx , 当2 1?x 时,点 M 的坐标为)3,4,2 1( 。∵1)2 1(??x , 16 )2 1(??y , 12 )2 1(??z , ∴曲线在点 M 处的切线方程为12 316 41 2 1?????zy x ; 法平面方程为0)3( 12 )4( 16 )2 1(??????zyx , 即0 201 24 32 2????zyx 。例3 .求抛物柱面2xz?及圆柱面1 22??yx 相交所成的空间曲线在) 25 9,5 4,5 3( ?M 处的切线方程和法平面方程。解:曲线的参数方程为???????????2 cos sin cos z y x , 则????? sin )(x ,???? cos )(y ,?????? cos sin 2)(z , 点?M 对应于5 3 os ???, 故5 4)(?????x ,5 3)(????y , 25 24 )(?????z , 切线的方向向量为} 24 , 15 , 20 { 25 1} 25 24 ,5 3,5 4{?????, 故切线方程为24 25 915 5 420 5 3??????zyx , 法平面方程为0) 25 9( 24 )5 4( 15 )5 3( 20??????zyx , 即025 216 24 15 20????zyx 。注:(3). 空间曲线方程为,0),,( 0),,(?????zyxG zyxF 切线方程为, 0 00 00 0yx yxxz xzzy zyGG FF zzGG FF yyGG FF xx?????)()()( 00 00 00??????zzGG FFyyGG FFxxGG FF yx yxxz xzzy zy 确定 y=y(x),z=z(x). 曲线切线的方向向量为: {1, y?(x) , z ?(x)} 0 , 曲线方程两边对 x求偏导后可得到: 定义 2 若曲面?上过点?M 的任意一条光滑曲线处的在点?M 切线都在同一个平面上,则称该平面为?曲面在点?M 处的切平面,过点?M 且垂直于切平面的直线称为曲面处的在点?M ?法线。?T n ?x y zo L ?M 曲面的切平面与法线