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§1?4 条件概率一、引出条件概率的例子二、条件概率的数学定义三、乘法公式四、全概率公式五、贝叶斯公式一、引出条件概率的例子记“取出的产品是甲厂生产的”这一事件为 A?“取出的产品为次品”这一事件为B?则本例所需求的是已知A 发生的条件下?B 发生的概率?此概率记作 P(B|A)?称为在 A 发生的条件下?B 发生的条件概率?例1?18 一批同型号产品由甲?乙两厂生产?产品结构如下?现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的?那么这件产品为次品的概率是多大呢? 一、引出条件概率的例子例1?18 一批同型号产品由甲?乙两厂生产?产品结构如下?现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的?那么这件产品为次品的概率是多大呢? 从这批产品中随意地取一件?则这件产品为次品的概率为%83 .61200 81 )(??BP ?当被告知取出的产品是甲厂生产的时?由于甲厂生产的 500 件产品中有 25件次品?因此%5500 25 )|(??ABP ?一、引出条件概率的例子例1?18 一批同型号产品由甲?乙两厂生产?产品结构如下?现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的?那么这件产品为次品的概率是多大呢? 当被告知取出的产品是甲厂生产的时?由于甲厂生产的 500 件产品中有 25件次品?因此%5500 25 )|(??ABP ?注意)( )(1200 /500 1200 /25 500 25 )|(AP AB P ABP????)( )(1200 /500 1200 /25 500 25 )|(AP AB P ABP????)( )()|(AP AB PABP??容易验证?对一般的古典概型?只要 P(A)?0?总有一、引出条件概率的例子在几何概型中( 以平面区域情形为例)?在平面上的有界区域?内等可能地投点?可见?在古典概型和几何概型这两类“等可能”概型中总有)( )()(/)( )(/)()( )()|(AP AB PSAS S AB SAS AB SABP??????)( )()|(AP AB PABP??若已知 A发生?则B发生的概率为)|()|( 11AAPAAP ii ii ????????)( )()|(AP AB PABP?(1? 2)二、条件概率的数学定义定义 1?3(条件概率 )给定概率空间(??P)?A?B是其上的两个事件?且P(A)?0?则称为已知事件 A发生的条件下?事件 B发生的条件概率?对给定的事件 A?P(A)?0?条件概率满足概率的三条公理? (1) P(?|A)?1? (2) 对任意事件 B?有P(B|A)?0? (3) 对任意可数个两两不相容的事件 A 1?A 2?????A n?????有例1?19 一袋中装有 10 个球?其中 3 个黑球? 7 个白球?先后两次从袋中各取一球( 不放回)? (1) 已知第一次取出的是黑球?求第二次取出的仍是黑球的概率?(2) 已知第二次取出的是黑球?求第一次取出的也是黑球的概率?记A i为事件“第i次取到的是黑球”(i?1? 2) ?解 (1) 在已知 A 1发生?即第一次取到的是黑球的条件下?第二次取球就在剩下的 2个黑球、 7个白球共 9个球中任取一个?根据古典概率计算?取到黑球的概率为 2/9 ?即有 9 2)|( 12?AAP ?15 1P P)( 210 2321??AAP ?10 3)( 2?AP ?说明例1?19 一袋中装有 10 个球?其中 3 个黑球? 7 个白球?先后两次从袋中各取一球( 不放回)? (1) 已知第一次取出的是黑球?求第二次取出的仍是黑球的概率?(2) 已知第二次取出的是黑球?求第一次取出的也是黑球的概率?记A i为事件“第i次取到的是黑球”(i?1? 2) ?解在已知 A 2 发生?即第二次取到的是黑球的条件下?第一次取球发生在第二次取球之前?问题的结构不像(1) 那么直观?采用(1?2)式计算 P(A 1|A 2)更方便一些? (2) 因为 15 1P P)( 210 2321??AAP ?10 3)( 2?AP ?15 1P P)( 210 2321??AAP ?10 3)( 2?AP ?例1?19 一袋中装有 10 个球?其中 3 个黑球? 7 个白球?先后两次从袋中各取一球( 不放回)? (1) 已知第一次取出的是黑球?求第二次取出的仍是黑球的概率?(2) 已知第二次取出的是黑球?求第一次取出的也是黑球的概率?记A i为事件“第i次取到的是黑球”(i?1? 2) ?解根据条件概率公式(1?2)可得 9 2)( )()|( 2 2121??AP AAPAAP ?9 2)( )()|( 2 2121??AP AAPAAP ? (2) 因为 1