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Poisson 过程的基本性质 Poisson 过程相关的随机变量第 3章 Poisson 过程第 3章 Poisson 过程?课后作业 非齐次 Poisson 过程 复合 Poisson 过程 简单随机点是 Poisson 过程的证明 简单随机点是简单随机点是 Poisson Poisson 过程的证明过程的证明 Poisson 过程的基本性质 Poisson 过程的基本性质. Poisson )( 过程的是强度为则称?tN )( 的区间上的增量在长度为若独立增量的计数过程 ttN?,0,,0,)(~)()(??????????tTttPtNttN??若计数过程若计数过程 N N( (t t) )的增量具有独立性、平稳性和普通性,则的增量具有独立性、平稳性和普通性,则本节,首先证明本节,首先证明过程简单随机点过程是 Poisson 节已知: 节已知: 称称N N( (t t ) ) 为为简单随机点过程简单随机点过程. .???????????? 2 10),(),(1),( k ktttPtttPtttP ,)(有增量的普通性和平稳性由tN.)(1tot??????}0),({),( 000??????tttNPtttP}0),(),({ 0?????tttNttNP}0),(,0),({ 0?????tttNttNP .,2,1,0 },)()({}),({),( 0 00???????kktNtNPkttNPttP k记.),(,0)1( 00ttPt 先计算???) 独立性(}0),({}0),({ 0?????tttNPttNP )],(1 )[,( 00totttP??????进而得, )(),( ),(),( 00 0000t tottPt ttPtttP??????????,0 取极限得微分方程令??t ).,(d ),(d 00 00ttPt ttP???,0),( 00?ttN 因为利用初值条件求解微分方程可得利用初值条件求解微分方程可得.,e),( 0 )(00 0ttttP tt?????.1),( 000?ttP 所以,)(),(),(),( 000000totttPttPtttP?????????}),(),({}),({ 00ktttNttNPktttNP???????????????? kjjkttNPjtttNP 0 0}),({}),({.),(),( 0 0?????? kj jkjttPtttP .1,),(,0)2( 0????kttPt k 再计算),(),(),(),( 2 2 0totttPttPtttP j j kj jkj?????????????,2时因为当?k???????? kj jkjkttPtttPtttP 0 0 0),(),(),(),( )](1[ 0ttPtot k??????,)(),( )]([ 01????????ktottPtot k?所以),(),(),(),( 01000tttPtttPttPtttP kkkk???????????差分方程取极限得微分令两边除以????,0,tt.,),(),(d ),(d 0010 0ttttPttPt ttP kk k???????.1,0),(,0),( 0000???kttPttN k 所以因为的表达式可得利用初值条件和令),(,1 00ttPk?),(]1),(),([ 010tottPttP kk?????.,e)(),( 0 )(001 0ttttttP tt???????可得利用初始条件和令),(,),(,2 0100ttPttPk?.,e2 )]([),( 0 )( 2002 0tt ttttP tt???????如此重复如此重复, ,一般地可得到一般地可得到.,1,0,,e! )]([}),({),( 0 )(000 0?????????kttk ttkttNPttP tt k k ?? Poisson 过程定义的等价命题 Poisson Poisson 节可知, 节可知, Poisson Poisson 过程是平稳独立增量过程过程是平稳独立增量过程. . 节例题节例题 7 7可知, 可知, Poisson Poisson 过程是过程是 Markov Markov 过程过程. . 在应用中,若一个随机过程的增量具有独立性、平稳性和普通在应用中,若一个随机过程的增量具有独立性、平稳性和