.立体几何中的向量方法(一).ppt

研究从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用. 为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢? 一、直线的方向向量 e ?A B le ?直线 l上的向量以及与共线的向量叫做直线 l的方向向量。 e ?e ??由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以,可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量: 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面????,则称这个向量垂直于平面,记作⊥, 如果⊥,那么向量叫做平面的法向量. ???? n ?? n ? n ? n ?A n ?l 给定一点 A和一个向量,那么过点 A, 以向量为法向量的平面是完全确定的. n ? n ?几点注意: ;; ,向量是与平面平行或在平面内,则有 0 n m ? ?? ?? n ?m ??问题:如何求平面的法向量?),,( )1(zyxn?设出平面的法向量为),,( ),,,( )2( 222 111cbabcbaa??向量的坐标两个不共线的找出(求出)平面内的 1 1 1 2 2 2 (3) , , 0 000 x y z a x b y c z n a n b a x b y c z ? ????? ??? ?? ?? ????? ?? ?根据法向量的定义建立关于的方程组个解,即得法向量。解方程组,取其中的一)4( 平面的法向量不惟一,合理取值即可。 n x y z ??解:设平面的法向量为(,,), (2, 2,1) 0 (4, 5, 3) 0, n ABn AC x y z x y z ? ?? ? ?? ?????????则, (,,),(,,) 2 2 0 , 4 5 3 0 x y z x y z ? ????? ???即1121 xzy ?????????取,得 1 ( , 1,1), 2 n ????????一个法向量。的求平面、已知例 ABC AC AB,3,5,4,1,2,22??1:1:2 1::???zyx得, 由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的,为方便起见,取 z=1 较合理。其实平面的法向量不是惟一的。(2, 2,1), (4, 5, 3), AB AC ABC ? ????? ????例2:已知求平面的单位法向量。 n x y z ??解:设平面的法向量为(,,), (2, 2,1) 0 (4, 5, 3) 0, n AB n AC x y z x y z ? ???????? ??? ?????????则, (,,), (,,) 2 2 0 , 4 5 3 0 x y z x y z ? ????? ???即 1121 xzy ?????????取,得 1 ( , 1,1), 2 n ????3 | | 2 n?? 1 2 2 ( - 3 3 3 ABC ? ?求平面的单位法向量为,,) 3:已知点 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0), 求平面 ABC 的一个法向量. 典型例题 2:求法向量因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置,所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系. 那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢?如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢?