引言 1 应用自然科学领域,如物理; 工程技术问题,如石油勘探. 2 常微分方程的解法(1) . (2),逐步逼近法. (3) ,应用广泛,具有理论应用价值. 第八章常微分方程数值解法 3 本章主要内容(1) 介绍常微分方程初值问题的数值方法(理论和计算方法) 单步法?§2 Euler 方法§3 Taylor 方法和 Runge-Kutta 方法§4 单步法的进一步讨论多部法?§5 Adams 方法和一般线性多部法§6 线性多部法的收敛性与稳定性§7 一阶方程组初值问题数值方法推广§8二阶常微分方程边值问题数值方法(2) 介绍二阶常微分方程边值问题的打靶法和有限差分法§1 基本概念 常微分方程初值问题的一般提法 1 常微分方程初值问题的一般提法问题求函数, ),(bxaxy??满足????????bxayxf dx dy ),,(??)(ay )( )( 其中),(yxf为已知函数, ?是已知值.(可能是观察值或实验值) 基本条件设},), {( ??????ybxayxD(2) f(x,y)在D上关于变量 y 满足 Lipschitz 连续条件: (1) f(x,y)在D上连续; ,),(),( 2121yyLyxfyxf???.21,,yybxa???其中 L为Lipschitz 常数. )( 结论定理 1 若f(x,y)在D上满足基本条件,一阶常微分方程初值问题(),() 对任意给定的?存在唯一解且在[a,b]上连续可微. 关于解 y(x)的适定性定义 1方程( ),( )的解 y(x)称为适定的,若存在常数,0??对任意满足条件???????)(x及),(,x??的常微分方程?????????bxaxzxf dx dz ),(),(?)(( ),() 上各加一个摄动(扰动)项存在唯一解 z(x),且有}{)()(???????Kxzxy ????)(xz ,0?K初值问题摄动(扰动)误差????????bxayxf dx dy ),,(??)(ay)( )( 定理 2若f(x,y)在D上满足基本条件,则微分方程( ),( ) 的解 y(x)是适定的.(1)适定问题的解 y(x)连续依赖于( )右端的 f(x,y)和初值. 或者说解 y(x)关于( )右端的 f(x,y)和初值稳定. 注也可说成解的误差可由摄动项控制.(2)本章假设 f(x,y)在D上满足基本条件,从而( ),( )的解 y(x)存在且适定. 2 一般常微分方程组初值问题的提法问题求解),( ),( ),( 21xyxyxy n?使满足????????bxayyyxfy dx d n ii ),,,,( 2,1?,)( iiay??ni,,2,1??)( 向量形式????????bxayxF dx yd ),,( ??????)(ay )( ?求解, ))( ),( ),(()( 21 ??xyxyxyxy n??使满足其中, )),(, ),,( ),,((),( 21 ??yxfyxfyxfyxF n??
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