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§4单步法的进一步讨论 收敛性与相容性本节内容理论分析:收敛性、相容性、稳定性、提高精度(的途径): 外推法、变步长对单步法: )( kk kkkkkxxhhyyxhyy????????1 1 1 ),,,,(问题求解????????bxayxf dx dy ),,()( )(,)(??ay当局部截断误差为)()( 21 1 ?????? pp khOhx?即 pkknk ch yxy????)( max 0(a) () (单步法)是 p 阶方法. 时,且关于变量 u,v满足 Lipschitz 条件,则数值方法),,,(hvux? y(x)为精确解. ?收敛性结论阶单步法是收敛的. )1(?p () 的准确解为 y(x ).? 事实上,当时, , 1?p)0(0??h ch p定义 4设单步法() 生成(),() 的数值解: , ),,1,0(,nky k??)( lim 0xyy kh??,则称数值(单步)方法() 是收敛的. 若对任意固定的都有 kh axbax???],,[ 成立. pkknk ch yxy????)( max 0(a) 结合( a )式,则结论 p阶方法的局部截断误差一般为: )( 11 ??? pkhO??相容性将), ),( ),(,( 1hxyxyx kkk??),0 ),( ),(,( kkkxyxyx在点展开: )0 ),( ),(,() ),( ),(,( 1kkk kkkxyxyxhxyxyx????)),()(()0 ),( ),(,( 1kkkkkxyxyxyxyxv ???????),()0 ),( ),(,( 2hOhxyxyxh kkk?????),,,( 1 1hyyxhyy kkkkk?????)( )( ))(,()( 2hOhxyxfxy kkk???)()()()( 2 1hOhxyxyxy kkk?????由代入上式,得)()0 ),( ),(,(] ))(,([ 2hOxyxyxv xyxfh kkk kk?????)0 ),( ),(,() ),( ),(,( 1kkk kkkxyxyxhxyxyx????),0 ),( ),(,( ))()(( 1kkkkkxyxyxv xyxy???????),()0 ),( ),(,( 2hOxyxyxh h kkk??????从而的必要条件是: 1 ),( 11????phO pk?),()0,,,(yxfyyx??)( )( 所以)( )]0 ),( ),(,( ))(,([ 2hOxyxyxxyxfh kkkkk????)0 ),( ),(,() ),( ),(,( 1kkk kkkxyxyxhxyxyx????),,,( 1 1hyyxhyy kkkkk?????hxyxy kkk?????)()( 11?) ),( ),(,( 1hxyxyx kkk??))()(( 1kkxyxy??h???)( ))(,()()( 2 1hOhxyxfxyxy kkkk????得)()( 1kkxyxy??)()( 1kkxyxy??) ),( ),(,( 1hxyxyx kkk??定义 5结论说明方法是否相容,即方法与方程是否配套。当数值方法),,,( 1hyyxh yy kkk kk????).,()0,,,()(yxfyyxxy????两边对取极限,得 0? h )()( 数值方法() 称为与初值问题(),() 是相容的,若 () 式成立. )1(?p阶单步法全是相容的。前面讨论的方法全是相容的方法。() 与(),() 相容时,对固定的 k,差分方程( ) ),()0,,,(yxfyyx??)( 首先, 设数值方法() 稳定性其次, 设是() 的准确数值解,y(x)是() , () ),,1,0(nky k??持有界,总的误差能被控制,但当时, 数值解 0)(,????xyx ky 检验稳定性的方法预备知识的准确解. 计算机求解时,每步都有可能有舍入误差(迭代误差与计算机引起的误差),因此设是() 的计算解. ),,1,0(nky k??定的. 定义若在计算过程中某部引入的舍入误差,在以后的计算(或传播)中被压缩、衰减,则称() 是数值稳定的;若在传播中误差被放大,则称() 是数值不稳定的;若在传播中舍入误差保可能不随 k增大而趋于零,约定这种情况下方法() 也是数值不稳原因(1) 方法简单. (2) 方程() 可局部线性化为. yy???使用检