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信息系刘康泽第四章第四章随机变量的数学期望随机变量的数学期望信息系刘康泽在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分布, 如果知道了随机变量的概率分布,,人们并不需要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了. 因此,在对随机变量的研究中,,最常用的是数学期望和方差。第4-1 节一维随机变量的数学期望信息系刘康泽一、一维离散型随机变量的数学期望某射击选手进行射击训练,他命中的环数是一个随机变量。我们需要知道他命中目标的平均环数。某车间对工人的生产情况进行考察. 一个工人每天生产的废品数 X的平均值。某电话交换台每天 8:00-9:00 收到的呼叫数 X是一个随机变量. 如何定义 X的平均值,即该交换台每天 8:00-9:00 收到的平均呼叫数呢? 1、概念的引入: 信息系刘康泽若统计 100 天, 例1、某车间对工人的生产情况进行考察. 一个工人每天生产的废品数 X是一个随机变量. 如何定义 X的平均值呢? 32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品; 27 .1100 21 3100 17 2100 30 1100 32 0????????这个数能否作为 X的平均值呢? 可以得到这 100 天中每天的平均废品数为: 信息系刘康泽可以想象,若另外统计 100 天,车工小张不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的 100 天一般不会完全相同,这另外 100 天每天的平均废品数也不一定是 . n 0天没有出废品;n 1天每天出一件废品;n 2天每天出两件废品;n 3天每天出三件废品. 可以得到 n天中每天的平均废品数为: (假定该工人每天至多出三件废品) 一般来说,若统计 n天, 0 3 1 2 0 1 2 3 n n n n n n n n ? ??????信息系刘康泽由频率和概率的关系: 不难想到,在求废品数 X 的平均值时,用概率代替频率, 得平均值为: 0 1 2 3 0 1 2 3 p p p p ? ??????这样得到一个确定的数. 用这个数作为随机变量 X的平均值是合理的. 0 3 1 2 0 1 2 3 n n n n n n n n ? ??????这是以频率为权的加权平均数这是以概率为权的加权平均数信息系刘康泽例2、设某射手的命中环数是一个随机变量,若已知: P 05678910 ?可以这样考虑该射手的平均环数:假定射击 100 次, 将100 次射击的总环数累加,然后除以 100 ,作为一次射击的平均环数。?? 1 10 50 9 20 8 10 7 10 6 5 5 5 0 0 100 ? ???????????? 10 9 8 6 5 0 7 0 ? ????????????也就是: 这是以概率为权的加权平均数“平均值”= 的一切可能取值与相应概率乘积的和。?信息系刘康泽【定义】: 设随机变量?的概率分布为? 1x 2x … kx … P 1p 2p … kp … 1 1 2 2 k k k k k E x p x p x p x p ?? ??????? ?期望,记作?E .即:也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和. 2、信息系刘康泽例3、某人的一串钥匙上有 n 把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望. 1 1 1 (1 ) 1 2 2 nk n n n E k n n ??? ?? ?????于是: 解: 设试开次数为?1 ( ) , 1, 2, , P k k n n ?? ? ??信息系刘康泽例4、一批零件中有 9个合格品与 3个废品,安装机器时任取一个,如果取出的废品不再放回,求在取到合格品之前已取出的废品数的数学期望。解:设在取到合格品之前已取出的废品数为, ? 9 ( 0)