1主讲教师:王升瑞高等数学第十一讲 2第三节一、两向量的数量积二、两向量的向量积向量的数量积和向量积第六章 31M 一、两向量的数量积沿与力夹角为?的直线移动,??W 1. 定义设向量的夹角为?,称记作数量积(点积、内积、标量积) . F 作用下, F 位移为 s , 则力 F所做的功为? cos sF ?sFW ??? 2M ba?? cos ba的与为ba ba, s ??SF ??? cos 注:数量积是数,不是向量 4?,0时当???a上的投影为在ab ??记作故,0,时当同理???b a b ?jrPb 2. 性质为两个非零向量,则有 b a ?jrP? cos b??ba ba a ?jrP???ba??aa)1( 2aba,)2(0??baba ? ba0??ba则2 ??),(ba 0,0??ba 两个向量的数量积=其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。??ba ), cos( baba ????? cos ba 5 3. 运算律( 1) 交换律( 2) 结合律),(为实数?? abba?????ba)(?)(ba??)(ba???)()(ba?????)(ba????)(ba????( 3) 分配律?? cbcacba??????事实上, 当0?c 时, 显然成立 ;时当0?c c )(ba? bab c ?jrPa c ?jrP?? cba???? ba c??jrPc ? c?? ??jrPjrP?a c ?jrP?c b c ?jrP?c ca??cb??)(jrPba c?? 6 4. 数量积的坐标表示设则利用数量积的运算律与性质得: ,1? 0? zzyyxxbababa???,kajaiaa zyx???,kbjbibb zyx?????ba???)(kajaia zyx)(kbjbib zyx??ii? jj??kk?? ji?kj?? ik?? ba?两个向量的数量积=它们对应坐标的乘积之和。 7 当为非零向量时,?? cos ? zzyyxxbababa?? 222zyxaaa?? 222zyxbbb??由于??ba ? cos baba?ba ba, , 得两向量的夹角公式 0????? zzyyxxbabababa ??则当 8)(? MB ,)(? MA ? B M ,)2,1,2( ),1,2,2(,)1,1,1(BAM ? AMB . A 解:,1,10,1 ,01 则?? AMB cos ?1?0022 2 1?3 ??? AMB 求 MB MA ? MA MB 故 9 例2:已知求bac ???23??的模解: 根据数量积的限制和定义,得)23()23( ?????????????bbabbaaa ????????????????4669 433 2),(???baba ????? 73 443 2 cos 12 39 2 22???????73 ??c ? 224), cos( 12 9bbabaa ????????? 10AB C ?a bc 例3. 证明三角形余弦定理? cos 2 222ab bac???证:则? cos 2 222ab bac???如图 . 设,aBC?,bAC?cBA?bac??? 2c )()(baba???aa??bb?? ba??2 2a? 2b?? cos bbaa???,,
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