高中数学配套同课异构3.2.3 立体几何中的向量方法 课件2(人教A版选修2-).ppt

第三章空间向量与立体几何 立体几何中的向量方法(三) 一、复****引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(化为向量问题) (进行向量运算) (回到图形) 向量的有关知识: 两向量数量积的定义: a· b=| a|· |b|· cos 〈a,b 〉两向量夹角公式: cos 〈a,b 〉= ba ba??直线的方向向量:与直线平行的非零向量平面的法向量:与平面垂直的向量练****如图, 60°的二面角的棱上有 A、B两点,直线 AC、 BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直 AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求 CD的长. BA CD??注: 利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小. 例1:如图 3,甲站在水库底面上的点 A处,乙站在水坝斜面上的点 B 处。从 A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离 AC和BD分别为和,CD 的长为, AB 的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labc d 解: 如图, .d AB c CD b BD a AC????, , , 化为向量问题根据向量的加法法则 DB CD AC AB???进行向量运算 2 22)( DB CD AC AB d????) (2 222 DB CD DB AC CD AC BD CD AB????????? DB AC bca?????2 222 DB CA bca?????2 222于是,得 22222dcba DB CA?????设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。 CA DB ??因此. cos 2 2222dcbaab????? A BCD??图3 cos 2222ab dcba????? 2222ab dcba???例1:如图 3,甲站在水库底面上的点 A处,乙站在水坝斜面上的点 B 处。从 A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离 AC和BD分别为和,CD 的长为, AB 的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labc d 思考: (1)本题中如果夹角可以测出,而 AB 未知, 其他条件不变,可以计算出 AB 的长吗? ? A BCD??图3 2 2)( DB CD AC AB???由) (2 222 DB CD DB AC CD AC BD CD AB?????????分析: ? cos 2 222ab bca????∴可算出 AB 的长。(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗? 分析: 如图,设以顶点为端点的对角线长为,三条棱长分别为各棱间夹角为。 A 1B 1C 1D 1AB C D A d, , ,cba? 21 21 2)( CC AC AB CAd????则? cos )(2 222ac bc ab bca??????)(2 cos 2222ac bc ab cbad????????(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗? a? A 1B 1C 1D 1AB C D 分析: 二面角?平面角?向量的夹角?回归图形解: 如图,在平面 AB 1内过 A 1作 A 1E⊥ AB 于点 E, E F 在平面 AC 内作 CF ⊥ AB 于F。?? cos sin 1a BF AE a CF EA????, 则??????? CF EA FC EA cos cos cos 1 1, , ?| ||| 1 1 CF EA CF EA??? 22 1 sin )()(a BF CB AE AA????????????? 22 22 2 22 sin cos ) cos( cos ) cos( cos cosa aaaa???????? cos 1 cos ??∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。空间“夹角”问题 , l m 的方向向量分别为, a b ? ?l a ?m l a ?m b ???若两直线所成的角为,则, l m (0 ) 2 ?? ?≤≤ cos a b a b ???? ?? ?