同济大学试题集合.doc

-1- 同济大学数学分析 1998 一、求极限 1、?0 lim x x)1(?x2、?0 lim x) cos 1 1( 1 33 22xx xx ???二、证明不等式 e yye xy x ln??(x)0,??yR ) 三、设 f(x)=u(x) ? 2)( xx dttv . 其中 u(x) 是[0, 1] 上的正值可导函数,)(xv 是在[0, 1] 上连续,求并由此证明),( 'xf???)(2)()( 1 2 x txx xvxvdttvx 在[0, 1] 内有解。四、设?????????||2,0 2|| |,|2)(x xxxf , 试将)(xf 展开 Fourier 级数, 并求级数 21)(???nn n Min 的和。五 、计算积分?????dszyx) cos cos cos ( 222???, 其中?为 曲面 xzzy2 222???,??? cos , cos , cos 为?外法向量的方向余弦。六、设数项级数???0n na 收敛于 S , 试证,)! ( 00Sdxn xae nn x???????并由此计算之值。 dxdtt te xx) lim ( 00?????在分别表示)与( , 的并且有界,对于充分小的某领域附近内有定义在点七、)()( )(xfhmhMh axf的递减数列。是一趋于上的上、下确界,又设 0}{],[ nhhaha??证明: 1、都存在, 与)( lim )( lim nn nnhmhM ???? 2、, )( lim )( lim hMhM n nn?????, )( lim )( lim hmhm n nn????? 3、处连续的充要条件是在axxf?)(, )( lim )( lim nn nnhmhM ?????八、设有数项级数????????? nk kn nx xnn nsn aSa 111 ,1,?记, 证明:若???? 1)( n nnS?收敛,则???1n na 收敛。同济大学数学分析 1999 -2- 一、计算 1、xxx xxx x arcsin )1 ln( cos sin lim 2 220???., ),,( ),,(),( ),,(,2 2x vx uyxvyxuyvxugv yvxufu gf???????????求确定函数元函数,方程分别为可微的三元和二、 3 、设)1(',)( 22f dtexxf xx xtx求????二、设u 为自然数,试讨论函数?????????????????????????0, )1()1( 10, )1(2 ln 1,0)( 22 1 1xx xxxx xxk xxf uu n k k 在 x=0 与 x=1 处的连续性, 并指出间断点的类型(要说明理由)。三、设常数 K>1, (1) 证明方程 0 cos sin???yxy ky 在区域|x|<k-1,|y|<+ ?内确定唯一的可导函数)(xyy?(2 )求极限 x xy x)( lim 0?四、求原点( 0,0 )到抛物面 22yxz??与平面 1???zyx 交线的最长与最短距离。五、(1 )证明不等式: )0()1 ln( 1 ????? xxxx x (2 )证明数列}{ nx 收敛,其中????? nn nnn x 1)1 ln( 1 六、设???????? c