同济大学第六版高等数学上册课后答案全集.doc

1 高等数学第六版上册课后****题答案第一章****题 1?11?设A?(????5)?(5???)?B?[?10?3)?写出 A?B?A?B?A\B及A \(A\B)的表达式?解A?B?(???3)?(5???)?A ?B ?[ ?10 ??5) ?A\B ?( ????10) ?(5 ???) ?A \(A\B) ?[ ?10 ??5) ?2?设A、B是任意两个集合?证明对偶律?(A?B) C?A C?B C?证明因为 x?(A?B) C?x?A?B?x?A或x?B?x?A C或x?B C?x?A C?B C?所以(A?B) C?A C?B C?3?设映射 f?X?Y?A?X?B?X?证明(1)f(A ?B) ?f(A) ?f(B) ?(2) f(A ?B) ?f(A) ?f(B) ?证明因为 y?f(A?B)??x?A?B?使f(x)?y?(因为 x?A或x?B)y?f(A)或y?f(B) ?y ?f(A) ?f(B) ?所以 f(A?B)?f(A)?f(B)?(2)因为 y?f(A?B)??x?A?B?使f(x)?y?(因为 x?A且x?B)y?f(A)且y?f(B)?y? f(A) ?f(B) ?所以 f(A?B)?f(A)?f(B)?4 ?设映射f ?X ?Y ?若存在一个映射g ?Y ?X ?使XIfg???YIgf???其中I X、 I Y分别是 X、Y上的恒等映射?即对于每一个 x?X?有I Xx?x?对于每一个 y?Y?有 I Yy?y?证明?f是双射?且g是f的逆映射?g?f ?1?证明因为对于任意的y?Y?有x?g(y)?X?且f(x)?f[g(y )]?I yy?y?即Y中任意元 2 素都是 X中某元素的像?所以 f为X到Y的满射?又因为对于任意的 x 1?x 2?必有 f(x 1)?f(x 2)?否则若 f(x 1)?f(x 2)?g[f(x 1 )]?g[f(x 2 )] ?x 1?x 2?因此 f既是单射?又是满射?即f是双射?对于映射 g?Y?X?因为对每个 y?Y?有g(y)?x?X?且满足 f(x)?f[g(y )]?I yy?y?按逆映射的定义?g是f的逆映射?5?设映射 f?X?Y?A?X?证明?(1)f ?1(f(A )) ?A ?(2) 当f是单射时?有f ?1(f(A ))?A?证明(1)因为 x?A?f(x)?y?f(A)?f ?1(y)?x?f ?1(f(A ))?所以 f ?1(f(A ))?A?(2)由(1)知f ?1(f(A ))?A?另一方面?对于任意的 x?f ?1(f(A ))?存在 y?f(A)?使f ?1(y)?x?f(x)?y?因为 y?f(A)且f是单射?所以 x?A?这就证明了 f ?1(f(A ))?A?因此 f ?1(f(A ))?A? 6?求下列函数的自然定义域?(1)23??xy ?解由 3x?2?0得3 2??x ?函数的定义域为),3 2[????(2)21 1x y???解由1?x 2?0得x??1?函数的定义域为(????1)?(?1?1)?(1???)?(3)21 1xx y????解由x?0且1?x 2?0得函数的定义域 D?[?1?0)?(0?1]?(4)24 1x y???解由4?x 2?0得|x|?2?函数的定义域为(?2?2)?(5)xy sin ??解由x?0得函数的定义 D?[0???)?(6)y ? tan( x ?1) ?解由2 1 ???x (k ?0 ??1 ??2 ????)得函数的定义域为 12 ?????kx (k ?0 ??1 ??2 ??? 3 ?) ?(7) y ? arcsin( x ?3) ?解由|x?3|?1得函数的定义域 D?[2?4]?(8)x xy 1 arctan 3????解由3?x?0且x?0得函数的定义域 D?(???0)?(0?3)?(9) y ? ln( x ?1) ?解由x?1?0得函数的定义域 D?(?1???)?(10) xey 1??解由x?0得函数的定义域 D?(???0)?(0???)? 7?下列各题中?函数 f(x)和g(x)是否相同?为什么? (1)f(x) ? lgx 2?g(x) ? 2lg x ?(2) f(x)?x?g(x)? 2x ?(3)334)(xxxf???31)(??xxxg ?(4) f(x) ?1 ?g(x) ? sec 2x ? tan 2x ?解(1)不同?因为定义域不同?(2)不同?因为对应法则不同?x?0时?g(x)??x?(3)相同?因为定义域、对应法则均相相同?(4) 不同?因为定义域不同?8?设????????3 ||0 3 ||| sin |)(???x xxx ?求)6 ( ???)4 ( ???)4 ( ?????(?2)?并作出函