复变函数与积分变换14A答案.doc

《复变函数与积分变换》试卷东莞理工学院(本科)试卷( A 卷)答案 2014--2015 学年第 1学期《复变函数与积分变换》试卷开课单位: 计算机学院,考试形式:闭卷,允许带入场题序一二三四五六七八九总分得分评卷人 1. 已知复数 21 izi ??, (10 分) (1 )计算其主辐角和模; (2 )给出其指数形式和三角形式。解: 211 i z i i ? ???(1) | | 2 z?, arg arctan(1 ) 4 z i ?? ??;5’(2) /4 2 2 cos sin 4 4 i z e i ?? ?? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ?? ? ??? ?。5’ 2. 证明 3 2 ( , ) 3 u x y x xy ? ?为调和函数,给定初值(0) 0 f?,求出此姓名: 学号: 系别: 年级专业:( 密封线内不答题) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………《复变函数与积分变换》试卷解析函数( ) f z u iv ? ?.( 10 分) 解: 因为 6 6 0 xx yy u u x x ? ???, 并且( , ) u x y 具有连续的二阶偏导数, 所以 3 2 ( , ) 3 u x y x xy ? ?为调和函数, 依据 Cauchy-Riemann 方程,令 2 2 3 3 v u x y y x ? ?? ??? ?,6 v u xy x y ? ??? ?? ? 4’可求得 2 3 ( , ) 3 v x y x y y c ? ??, 即 2 3 3 3 2 ( ) 3 (3 ) f z x xy i x y y c z ci ? ?????? 4’由初值条件(0) 0 f?可算出 0c?, 所以, 2 3 3 3 2 ( ) 3 (3 ) f z x xy i x y y z ? ????。2’ 3. 计算积分 2 | | 2 ( ) zzedz z z i ???.( 10 分) 解:被积函数在| | 2 z?内有两个奇点, 0, z z i ? ?,4’根据复合闭路原理, 2 2 2 1 1 | | 2 | | | | 3 3 / ( ) / ( ) z z z z