复变函数在解决实函数问题中的若干应用.doc

1 关于复变函数在解决实函数问题中的若干应用摘要: 实函数和复函数的贯穿于我们高中和大学的数学之中, 我们通过学****了解了部分实函数和复函数的知识点, 我们发现这些知识点有着深刻的联系。我们知道复函数分为实部和虚部, 那么我们研究能不能把要求的实函数当做一个复函数的实部或虚部, 进而利用复函数的知识来处理有关实函数的问题。关键词:实函数复函数构造求解复变函数论中的柯西-黎曼方程、柯西积分,解析函数的幂级数表达式,牛顿莱布尼茨公式等,那么它与我们经常使用的实函数有什么关系,其相关知识点能否运用在实函数的解题上面,下面我们将从几个方面来探究其在实函数上的应用。 1 预备知识定理 1若(1)函数( ) f z 在单连通区域 D内连续;(2) ( ) f z dz ?沿区域 D内任一圆周的积分值为零(从而积分与路径无关),则函数 0 ( ) ( ) zz F Z f d ? ???( 0z 为D内一定点) 在D内解析,且' ( ) ( ) F Z f z = . 定义 2在区域 D内,如果函数( ) f z 连续,则称符合条件' ( ) ( ) z f z F = ( z D ?) 的函数( ) F z 为( ) f z 的一个不定积分或原函数(显然( ) zF 必在 D内解析)。定理 3在定理( 1)或定义( 2)的条件下,如果( ) zF 为( ) f z 的单连通区域 D 内的任意一个函数,则 0 0 ( ) z z z z f d F F ? ?? ??定理 4设a 为( ) f z 的n 阶极点, ( ) ( ) ( ) nz f z z a ???,其中( ) z?在a 点解析, ( ) 0 a??则( 1) ( ) Re ( ) ( 1)! n z aa s f z n ?????这里 0 ( ) ( ) a a ? ??, ( 1) ( 1) ( ) ( ) n n z a a Lim z ? ?? ???。引理 1 (若当引理) 设函数( ) f z 沿版圆周: Re iR S z ??( 0 , R ? ?? ?充分 2 大)上连续,且( ) 0 z Lim f z ?+￥ = 在 RS 上一致连续,则( ) R im RS Lim f z e dz o ??????( 0) m> 。引理 2设( ) f z 沿圆弧: Re iR S z ??( 1 2 ? ??? ?,充分大)上连续,且( ) R Lim zf z ?????于 RS 上一致成立,则有 2 1 ( ) ( ) RRS Lim f z dz i ? ?????? ??引理 2欧拉公式: cos sin i e i ?? ?? ?引理 3(1) 202 x e dx ??????(2) 2 ax e dx a ?