16 动力学普遍方程与拉格郎日方程.ppt

16 动力学普遍方程与拉格郎日方程.ppt116 分析力学基础 2 达朗伯原理,把质点系动力学问题转化为虚拟的静力学平衡问题求解。虚位移原理是用分析法求解质点系静力学平衡问题的普遍原理。将二者相结合,就可得到处理质点系动力学问题的动力学普遍方程( General equations of dynamics ) 对此方程进行了广义坐标变换,可以导出拉格朗日方程( Lagrange ’ s equations of motion )。拉格朗日方程为建立质点系的运动微分方程提供了十分方便而有效的方法,在振动理论、质点系动力学问题中有着广泛地应用。 3 动力学普遍方程对于 n 个质点组成的质点系,在任一瞬时,作用于系统内的任一个质点 M i上的力有: iF NiF 主动力主矢,约束反力主矢。在该质点上虚加惯性力 Ii i i m ?? F a 达朗伯原理: ???? N 0 1 2 i i i i m i , , ,n ? ????? F F a ir??? N 1 0 n i i i i i im??? ???? F F a r 虚平衡状态给任一组虚位移双面、理想约束 N1 0 n i i i??? ?? F r 4 ?? 1 0 n i i i i im F a r ??? ????????? 1 0 n ix i i iy i i iz i i i F mx x F m y y F mz z ? ???? ??? ?? ?????? ?? ?? i i i ( 16-2 ) ( 16-1 ) 表示: 具有理想约束的质点系,任一瞬时作用于其上的主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等于零。动力学普遍方程。共同点:不含理想约束反力,独立方程数等于自由度数。区别:动力学普遍方程中除主动力外,还有惯性力。动力学普遍方程与静力学普遍方程: 5 1 2 P,P ,q, ,r, ?已知重量轮转动惯量,求加速度? J a解:加惯性力,受主动力如图。给连杆,则 r?rr ???????? 1 2 1 2 2 sin 2 2 0 P P r P P r a a r J g g r ?? ? ??? ?? ??????? ?? ????? 2 1 2 2 1 2 2 sin 2 2 P+P gr a= P+P r + Jg ??应用动力学普遍方程? 1p 2p 1p ar rJ? 1pag 1pag 2pagJ?例6 例瓦特离心调速器以匀角速度??绕铅垂固定轴 Oy 转动,如图所示。小球 A和B的质量为 m,套筒 C的质量为 M,可沿铅垂轴无摩擦地滑动。其中 OA = OB = l , OD = OE = DC =EC = a ,不计各杆重,不计各铰链及轴承的摩擦,试求稳态运动时调速器的张角??。ω?? aa aaC D E Oy ??B Amg Mg F IA F IBmg x 解:( 1)受力分析, 球A、B作匀速圆周运动,其加速度为?? sin 2laa BA?? 7 虚加在小球 A、B上的惯性力的大小分别为?? sin 2lmFF IB IA??(2)虚位移分析,系统具有一个自由度,取??为广义坐标。? sin lx A??? cos ly A?? sin lx B?? cos ly B?? cos 2ay C?取变分???? cos lx A?????? sin ly A?????? cos lx B????? sin ly B?????? sin 2ay C??ω?? aa aaC D E Oy ??B Amg Mg F IA F IBmg x8 (3)应用动力学普遍方程求解 0????? BB IAA IC B AxFxFygMygmygm??????? 2 2 2 sin 2 sin