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第三章优化模型
优化模型的数学意义
优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域
中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等
条件下合理选择材料的尺寸;公司经理要根据生产成本
和市场需求确定产品价格和生产计划,使利润达到最
大;调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各
供应点到各需求点的运量和路线,使运输总费用达到最
低。……
本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题:即
建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当
的简化,可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的
最优,但是它基于客观规律和数据,又不需要多大的费
用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验,就可以
期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。
本章介绍较为简单的优化模型,归结为微积分中的极
值问题,因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。
当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时,
首先要确定优化的目标,其次确定寻求的决策,以及决策
受到哪些条件的限制。在处理过程中,要对实际问题作若
干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决
策后,要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。
一、存储模型
问题的提出
工厂定期订购原料存入仓库供生产之用;车间一次加
工零件供装配线生产之用;商店成批订购各种商品,放
进货柜以备零售;诸多问题都涉及到一个存储量为多大
的问题:存储量过大,会增加存储费用;存储量过小,
会增加订货次数,从而增加不必要的订购费用.
本节讨论在需求稳定的情况下,两个简单的存储模
型: 不容许缺货和容许缺货的存储模型.

例配件厂为装配线生产若干种部件. 轮换生产不同
的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用(与产
量无关). 同一部件的产量大于需求时需支付存储费用.
已知某一部件的日需求量为100件,生产准备费为5000
元, 存储费为每日每件一元. 如果生产能力远大于需求,
并且不容许出现缺货,试安排生产计划: 即多少天生产
一次(生产周期)、每次产量多少可使总费用最少?
分析
⑴若每天生产一次,无存储费,生产准备金5000元,
故每天的总费用为5000元;
⑵若10天生产一次,每次生产1000件,准备金5000
元,存储费900+800+…+100=4500元。平均每天950元。
⑶若50天生产一次,每次生产5000件,准备金5000
元,存储费4900+4800+…+100=122500元,平均每天
2500元。
以上分析表明: 生产周期过短,尽管没有存储费,但
准备费用高, 从而造成生产成本的提高;生产周期过长,
会造成大量的存储费用, 也提高了生产成本. 由此可以
看到, 选择一个合适的生产周期,会降低产品的成本;
从而赢得竞争上的优势。
模型假设
为处理上的方便,假设模型是连续型的,即周期,
产量均为连续变量.
;

,即当存储量为零时, 件产品可以
立即生产出来.