模极大值去噪方法.doc

基于小波变换模极大值去噪方法的研究目前利用小波变换消除噪声的方法很多,但总结起来,比较成熟的是 Mallat 提出的一种多尺度小波变换模极大值的去噪方法。 小波变换模极大值的定义定义在尺度 s下,若 0 x x d " ? ,( )( ) 0 , , Wf s x Wf s x ￡ 成立,则 0x 称为模极大值点, ( ) 0, Wf s x 称为模极大值。小波变换极大模是由信号中奇异点和噪声产生的。根据理论分析,知道以平滑函数的一阶导数为母小波作小波变换,其小波变换在各个尺度下的模极大值对应于信号突变点的位置。小波分析尺度越小,平滑函数的平滑区域小,小波系数模极大值点与突变点位置的对应就越准确。但是小尺度下小波变换随噪声影响非常大,产生许多伪极值点,往往只凭一个尺度不能定位突变点的位置。相反,在大尺度下对噪声进行了一定的平滑,极值点相对稳定,但由于平滑作用使其定位又产生了偏差。同时,只有在适当尺度下各突变点引起的小波变换才能避免交迭干扰。因此,在用小波变换模极大值法判断信号突变点时,需要把多尺度结合起来综合观察。下面由小波变换模极大值在多尺度上的变化规律来表征信号突变点的性质。在许多情况下,小波变换并不要求保留所有的连续尺度 a,为了实现快速算法, 选择尺度按二进制变化,即二进制变换。信号的突变点在不同尺度 2 j上都会产生对应的模极大值。在任意尺度 2 j上模极大值对应于信号在 2 j尺度上平滑后的该点一阶导数大小。小波理论表明,模极大值的幅值随着尺度的变化规律是由信号在该突变点的局部李氏指数(Lipschitzexponent) 决定的。 模极大值随着尺度的变化规律李氏指数的定义为,设函数在 0t 附近具有下述特征: ( )( ) 0 0 , 1 n x t h p t h A h n n aa + - + ￡ < < + (3-1) 则称( ) x t 在 0t 处的李氏指数为 a 。式中 h是一个充分小量,( ) n p t 是过( ) 0 x t 点的n次多项式( ) n Z ? 。实际上( ) n p t 就是( ) x t 在 0t 点作 Taylor 级数展开的前 n项: ( )( )() ( )() 2 1 1 0 1 2 ... n n n n n x t x t a h a h a h O h p t O h + + = + + + + + = + (3-2) 显然 a 未必等于 1n+ ;它必定大于 n,但可能小于 1n+ 。如果( ) x t 为n次可微,但 n阶导数不连续,因此 1n+ 次不可微,则1 n n a < ￡ + ;如果( ) x t 的李氏指数为 a , 则( ) x t dt ò 的李氏指数必为 1a+ ,即每积分一次,李氏指数增 1。一般来讲,函数在某一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小, a 越大,该点的光滑度越高; a 越小,该点的奇异性越大。如果函数(