两种量子力学常用绘景的比较(图文).doc

两种量子力学常用绘景的比较(图文).doc两种量子力学常用绘景的比较( 图文) 论文导读:分别用量子力学两种常用绘景对同一个具体问题进行计算并比较, 说明两种绘景各自的优缺点. 并由所得结果表明物理结论和绘景的选择无关, 且在有限物体的量子力学体系中,各种不同的绘景是等价的. 关键词:绘景,态矢量,算符,薛定谔绘景,海森堡绘景 1 、引言绘景是经典力学参照系的推广,它描述算符和态矢随时间的演化. 量子力学的可观测性质与物理算符Â 在状态Ψ 的平均值〈Â 〉=〈Ψ,ÂΨ 〉相联系. 量子系统随时间演化, 算符平均值一般也随时间演化. 描述量子系统随时间的演化有三种不同的方式:(1) 算符形式保持不变而态矢量随时间改变;(2) 态矢量保持不变而算符形式随时间改变;(3) 算符形式和态矢量都随时间改变[1]. 量子系统的上述三种不同描述形式即分别称为薛定谔绘景, 海森堡绘景和狄拉克绘景. 三种绘景各有优缺点, 在量子理论中有不同的用途. 且三种绘景中的态矢量和算符又通过幺正变换相互联系. 本文即对前两种常用的绘景进行具体讨论. 2 、量子力学的两种常用绘景 薛定谔绘景在此绘景中, 态矢量必须满足薛定谔方程且显含时间. 设体系在 t0 时刻的状态波函数为,由运动方程求得体系在任一时刻的波函数,由此可以定义一个时间演化算符[2] ,它满足( ) 将( )代入薛定谔方程[3] ,得到( ) 由于上式对任意都成立, 由此得到算符满足的微分方程当系统的哈密顿算符不显含时间时,可得到算符的表达式为( ) 在量子力学中的性质由量子力学系统的特性及其哈密顿算符决定. 薛定谔绘景对于实际计算比较方便, 因为在许多情况下求解薛定谔方程都可以归结为解较简单的微分方程. 此绘景的主要缺点是它对量子系统的描述为非协变的, 同时难于处理一些不便用微扰论处理的问题( 如强作用问题) [4]. 海森堡绘景对于海森堡绘景,把薛定谔绘景中描述物理状态的态矢量和算符进行下述含时间的幺正变换,( ) 将方程( )代入上式中可得到在任何时刻海森堡绘景中的波函数都是一个与时间无关的常数,即. 对方程( ) 中的 A 进行对时间的求导运算得到. 若算符中显含时间, 还需加上下面一项的贡献( ) 这个方程即为海森堡运动方程。免费。免费。免费。海森堡绘景的优点在于它与经典力学的对应关系比薛定谔绘景更为直接和相似, 且处理微扰论问题时更直接方便. 其缺点是由于处理的都是算符方程, 因此在解具体量子问题时, 数学上不如薛定谔绘景中直接应用微分方程来得简便[5]. 3 、两种绘景中具体问题求解的比较一个置于均匀恒定弱电场中的一维线性谐振子,电场方向和坐标轴方向相同. 此时系统的哈密顿量为( ) 其中为微扰. 假设系统在无微扰时处于的第个本征态,在时突然加上微扰,而在时刻突然撤去微扰,求此时系统能量取各个值的几率. 下面分别在两个绘景中对上述问题做进一步讨论,均求解到二阶近似. 用上角标 S、I 区分两个绘景中的各量. 薛定谔绘景中的求解态矢量满足运动方程( ) 设为的本征值为的本征态,即[6]. 令代入( ) 式计算得到振幅方程( ) (1 )先求零级近似解令微扰,得到( )式的解为( ) 并由初始条件,得出(2 )再求一级近似解若不忽略微扰项, 并把零级近似常数改为, 可求得微扰矩阵元[7] 为( ) 将上式中的及代入( )式得( ) 取一级近似解时,把其中的和分别用它们的值代替,并利用初始条件,即解得( ) 其余的为零,故一般解为( ) 同理,把上面求得的一级近似解代入方程( )的右边,即得到不为零的二级近似解( ) 最后,在二级近似下解得系统满足运动方程的态矢量( ) 于是求得系统在无微扰时处于态,在时加入微扰,又当时撤去微扰后系统处于态的几率为( ) 在二级近似范围内(到阶) ,这些几率之和为 1. 海森堡绘景中的求解只要求出变换算符, 就可求得海森堡绘景的态矢量,因为[10]. 由此可见( ) 把上式代入薛定鄂方程并考虑是不随时间演化的,故可推出( ) 因此也满足薛定鄂方程,所以可直接利用狄拉克绘景的求解过程得出( ) 及( ) 即由海森堡绘景所求得的几率与由薛定谔绘景的计算结果完全一致. 这正是物理学所期待的结果, 因为物理结论应该和绘景的选择无关[11]. 并且通过比较可见,狄拉克绘景的微扰论计算比海森堡绘景和薛定谔绘景更为直接和简便。 4 、结论综上所述,可得如下结论: 1. 两种绘景在理论上的区别