第四五讲二维-傅里叶变换.ppt

§ 1-4 相关 correlation 信息处理中的重要运算一、互相关 cross correlation ?定义:考虑两个复函数 f(x)与g(x ),定义作变量替换 x+ ??= ??’, 则????????')'()'(*)()()( ???dgxfxgxfxr fg★(2) (1) 和(2) 两个定义式是完全等价的. 为函数 f(x)与g(x)的互相关函数. (1) ???????????dxgfxgxfxr fg)()(*)()()(★互相关是两个函数间存在相似性的量度. 1§ 1-4 相关 correlation 一、互相关由(2) 式易见: (3) ??????????)()(* )]()(*)(xgxfdgxfxr fg??? 1. 当且仅当 f* (-x )=f(x ) [f(x)是厄米的], 相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:f(x)要取复共轭运算时 f(x ) 不需折叠 r fg(x )= r gf* (-x) (4) 由(3) 式直接推论得: ?性质 1:互相关不满足交换律 r fg(x )=f(x ) ★g(x ) ≠g(x ) ★f(x ) = r gf(x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭. ?互相关与卷积的关系 2§ 1-4 相关 correlation 一、互相关)0()0()( 2 gg ff fgRRxR????????????ddd 2 2 2)()()()(?????????????????????dgdxfdgxf 22 2)()()()(?????????????????性质 2证明:引用施瓦兹不等式其中?与?一般为复函数,且仅当?=k ?时,等号成立。令?(?)=f( ?-x) ,?(?)=g( ?),则施瓦兹不等式为: 即)0()0()( 2gg ff fgRRxR? 3§ 1-4 相关 correlation 二、自相关 auto-correlation 或:????????')'(*)'()()()( ???dfxfxfxfxr ff★由(4) 式立即可得:r ff(x )= r ff* (-x) 复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)实函数的自相关为实偶函数???????????dxffxfxfxr ff)(*)()()()(★当f(x )=g(x)时,互相关变为复函数 f(x)的自相关, 定义为 4§ 1-4 相关 correlation 二、自相关 auto-correlation 重要性质???????????)(*)( )]([*)()( xfxfdxffxr ff???由(3) 式:若f(x)是实偶函数, 则:r ff (x )= f(x ) * f(x) , 其自相关就是自卷积对于非零复函数 f(x ), r ff (0)>0 为实值|r ff (x )| <r ff (0) 证明: 利用施瓦兹不等式 5§ 1-5 二维傅里叶变换三角傅里叶级数满足狄氏条件的函数 g(t ) 具有有限周期?,可以在(-?,+ ?)展为三角傅里叶级数:展开系数零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念, 奇、偶函数的三角级数展开,)2 sin 2 cos (2 )( 1 0 0 0?????? n n ntnf btnf a atg?????? 0 0)( 2dttga????? 0 0)2 cos( )( 2dttnfxga n????? 0 0)2 sin( )( 2dttnftgb n1 ), ...2,1,0( 0???fn6三角傅里叶展开的例子- 0 0 1 2 3 4 5 )2 cos( 2t??)6 cos( 3 2t??? 2 1前3项的和周期为??=1 的方波函数...... )6 cos( 3 2)2 cos( 22 1)(????tttf???? a n… f n0 13频谱图 1/2 2/?-2/3 ? 7三角傅里叶展开的例子求函数 g(t )=rect(2 t) * comb( t)的傅里叶级数展开系数周期? =1 宽度=1/2 12)( 2 4 14 1 22 0???????dt dttga ?????????????????? 2 sinc 4/1 4/1)2 sin( )2 cos( 2)2 cos( )( 2 4 14 1 22 nn nt dtnt dtnttga n???????0)2 sin( )( 2 22 0???????? dttnf tgb n频率 f 0 =1 采用指数傅里叶级数展开,可以使展开系数的表达式统一而简洁。 8§ 1-5 二维傅里叶变换指数傅里叶级数满足狄氏条件的函数 g(t ) 具有有限周期?,可以在