线性代数1.3 行列式性质.ppt

一、一、行列式的性质行列式的性质二、利用性质计算行列式二、利用性质计算行列式三、小结与思考三、小结与思考 1 1 2017-3-23 2 nn nn n n Taaa aaa aaaD?????????????????????? 21 2 22 12 1 21 11一、行列式性质一、行列式性质性质性质 1. 1. 行列式转置,值相等行列式转置,值相等 nn nn n naaa aaa aaaD?????????????????????? 21 2 22 21 1 12 11转置转置: : 行列行列互换互换? 2017-3-23 3 性质性质 2. (列)互换,行列式的值变号。两行(列)互换,行列式的值变号。证证用定义证明。参见用定义证明。参见 P12 P12 ( (略) 略) nn nn jn jj in ii naaa aaa aaa aaaD????????????????????????????????????????????????? 21 21 21 1 12 11?? nn nn in ii jn jj naaa aaa aaa aaaD?????????????????????????????????????????????????? 21 21 21 1 12 11 2017-3-23 4 推论推论两行(列)相同值为零。两行(列)相同值为零。证明证明, 有DD??。故0?D 互换相同的两行, 互换相同的两行, 2017-3-23 5 性质性质 3. (列)的公因子可提到行列式前某行(列)的公因子可提到行列式前 nn nn in ii naaa ka ka ka aaa?????????????????????????????????21 21 1 12 11 nn nn in ii naaa aaa aaa?????????????????????????????????21 21 1 12 11?k 2017-3-23 6 推论推论 1 1某行(列)为零时,行列式值为零。某行(列)为零时,行列式值为零。推论推论 2 2两行(列)成比例, 两行(列)成比例, 行列式行列式值为零。值为零。 2017-3-23 7 拆分性质拆分性质性质性质 4. (列)所有元素均为两数之若某行(列)所有元素均为两数之和,则可将其拆成两个行列式的和,则可将其拆成两个行列式的和。和。 nn nn in in iiii naaa bababa aaa???????????????????????????????????? 21 2211 1 12 11 nn nn in ii naaa aaa aaa????????????????????????????????? 21 21 1 12 11 nn nn in ii naaa bbb aaa????????????????????????????????? 21 21 1 12 11 ??注注此性质有可推广的情形。此性质有可推广的情形。 2017-3-23 8 乘加法则乘加法则 nn n n in jn ijij in ii naaa ka aka aka a aaa aaa???????????????????????????????????????????????????2 1 2211 2 1 1 12 11 nn nn jn jj in ii naaa aaa aaa aaaD????????????????????????????????????????????????? 21 21 21 1 12 11? k?性质性质 5. 5. 某行(列)乘以数某行(列)乘以数 k k后加到另一后加到另一行(列),行列式值不变行(列),行列式值不变 2017-3-23 9 乘加法则的实质是乘加法则的实质是““虚乘虚乘”“”“实加实加””,即被,即被加行改变,被乘行不变。加行改变,被乘行不变。注意注意 2017-3-23 10 ( (1 1)目标)目标化行列式为上(下)三角形、对角形行化行列式为上(下)三角形、对角形行列式计算; 列式计算; ( (3 3)原则)原则灵活运用行、列的各种变换,化简行列式。灵活运用行、列的各种变换,化简行列式。二、利用性质计算行列式二、利用性质计算行列式利用行列式性质,植树利用行列式性质,植树““1 1””造林造林““0 0””; ; ( (2 2)手段)手段