线性代数第1章第4节行列式按行展开.ppt

1 第一章行列式第四节行列式按行(列)展开一、行列式按某一行(列)展开三、行列式按某 k行(列)展开二、行列式计算方法类型举例函数与极限 2 观察三阶行列式定义 33 32 31 23 22 21 13 12 11aaa aaa aaa 11 22 33 23 32 ( ) a a a a a ? ? 12 23 31 21 33 ( ) a a a a a ? ? 13 21 32 22 31 ( ) a a a a a ? ? 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a ? ?? 11 23 32 12 21 33 13 22 31 a a a a a a a a a ? ?? 22 23 11 32 33 a a a a a ? 21 23 12 31 33 a a a a a ? 21 22 13 31 32 a a a a a ?函数与极限 3 对于三阶行列式,容易验证: 33 32 31 23 22 21 13 12 11aaa aaa aaa 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a ? ??可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算. 问题: 一个 n阶行列式是否可以转化为若干个 n-1 阶行列式来计算? 一、行列式按某一行(列)展开函数与极限 4 定义 1:在n阶行列式中,把元素 ija 所在的第 i行和第 j 列划去后,余下的 n-1 阶行列式叫做元素 ija 的余子式,记为 ijM 称?? ij ji ijM A ???1 为元素 ija 的代数余子式. 例如: 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11aaaa aaaa aaaa aaaaD? 44 42 41 34 32 31 14 12 11 23aaa aaa aaaM??? 23 32231M A ???. 23M??函数与极限 5 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11aaaa aaaa aaaa aaaaD? 44 43 41 34 33 31 24 23 21 12aaa aaa aaaM??? 12 21121M A ??? 12M?? 33 32 31 23 22 21 13 12 11 44aaa aaa aaaM??? 44 44 44441MM A????注意: 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. 函数与极限 6 定理 1:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 in in iiiiAaAaAaD????? 2211?? ni,,2,1??证明: (先特殊,再一般) 分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理. (1) 假定行列式 D的第一行除 11a 外都是 0 . nn nn naaa aaa aD?????? 21 222 21 1100?函数与极限 7 由行列式定义, D中仅含下面形式的项 n n njjj jjjaaaa?? 32 3232 11 ),,,,1()1( ?? n n njjj jjjaaaa?? 32 3232 ),,,,1( 11)1( ???其中 n n njjj jjjaaa?? 32 3232 ),,,,1()1( ??恰是 11M 的一般项. 所以, 11 11MaD? 11 11 11)1(M a ??? 11 11Aa?函数与极限 8 (2) 设 D 的第 i行除了 ija 外都是 0 . nn nj n ij njaaa a aaaD???????????? 1 11 1100?把D转化为(1) 的情形把D的第i 行依次与第 1?i 行,第 2?i 行, ······ , 第2行,第 1行交换;再将第 j 列依次与第 1?j 列, 第2?j 列, ······ ,第2列,第 1列交换,这样共经过 2)1()1(??????jiji 次交换行与交换列的步骤. 函数与极限 9 由性质 2,行列式互换两行(列)行列式变号, 得, nn jn nj nijiji ijjiaaa aaa aD???????????? 1, ,11,1,1 200)1( ????????? ij ji i