线性代数第一章复习.ppt

1第一章行列式§ 二阶、三阶行列式§ n 阶行列式§ 行列式的性质§ 行列式按行(列)展开§ 克莱姆法则 2§ 二阶、三阶行列式历史点滴: ?行列式来源于线性方程组的求解?1683 年,日本数学家关孝和(Seki Takazu,1642-1768) 在其专著<解伏题之法>中提出了行列式的概念与算法?1750 年,瑞士数学家克拉默(,1704-1752) 提出了线性方程组的行列式解法—“克拉默法则”?1772 年,法国数学家范德蒙德(,1735 -1851) 首先将行列式理论系统化,被誉为行列式理论的奠基人?现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱(, 1821-1895) 于1841 年引进的. 3 二阶行列式二阶行列式 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a ?记号表示代数和,称为二阶行列式, aa 21 12 22 11 22 21 12 11?? 11a 12a 22a 21a 即实线连接的元之积减去虚线连接的元之积 4三阶行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ? ????记号表示代数和称为三阶行列式,即 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a a a a a a a a a a a a a a a a a a ? ??? ?? 33 32 31 23 22 21 13 12 11aaa aaa aaa 列标行标 5三阶行列式的对角线法则 33 32 31 23 22 21 13 12 11aaa aaa aaa 33 22 11aaa?. 32 23 11aaa?注注1. ,蓝线上三元素的红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号. 乘积冠以负号. 2. 3. 3! 3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列不同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积, , 三项为正三项为正, ,三项为负. 三项为负. 32 21 13aaa? 31 23 12aaa? 31 22 13aaa? 33 21 12aaa?. 6例题与讲解?例2:计算三阶行列式: 2-43- 122- 4-21D???解: 解: 按对角线法则, 按对角线法则, ?D4)2()4()3(12)2(21????????????)3(2)4()2()2(2411?????????????24 8432 64???????.14 ??. 7§ n 阶行列式?排列:由自然数 1,2, ······ ,n组成的一个有序数组称为一个 n级(元)排列。?自然排列: n级排列 123 … n 称为自然排列。 214 1314 不是排列不是排列 n n 级排列中每个数必须出现一次, 级排列中每个数必须出现一次, n n 个数中不能有重复数,不能有大于个数中不能有重复数,不能有大于 n n的数的数 54321 5级排列 3142 4级排列 8 ?逆序与逆序数:在一个 n级排列中,若某个较大的数排在某个较小的数前面,就称这两个数构成一个逆序;一个排列中出现的逆序的总数,称为这个排列的逆序数,通常记为 N(i 1i 2…i n)。?排列的逆序数为偶数的称偶排列,排列的逆序数为奇数的称奇排列。. ?逆序数计算:从最左面的数开始算,计算每个数的左边比它大的数的个数,全部加起来。如排列 32514 的逆序数为 N( 32514 ) =2+1+2+0+0=5 9 ?对换:在一个 n级排列 j 1j 2…j i…j k…j n中, 若仅将其中两个数 j i、j k对调,其余不动,可得一个新的排列 j 1 j 2…j k…j i…j n , 这样的变换称为一次对换。?定理:一次对换改变排列的奇偶性。即 nkijjjjj??? 21则奇偶性不同奇偶性不同?? nkijjjjj??? 21与?? nikjjjjj??? 21若?????? kijj , nikjjjjj??? 21 10 对换性质的证明?思路:先证相邻元素的对换,再证明一