线性代数课件第1章 行列式.ppt

线性代数牛莉等编著 1第1章行列式 全排列及其逆序数 2 ? 排列与逆序?自然数组成的有序数组称为一个元排列,,规定其为标准次序. ?定义 1在一个元排列中,若一个大的数排在一个小的数的前面(即与标准次序不同时),,称为此排列的逆序数,记为. ?若排列的逆序数为奇数(偶数),则称此排列为奇排列(偶排列). 1 2 ?,,, n 1 2 n p p p ? 12n? n nn! 1 2 ( ) n p p p ??.n 1 2 n p p p ? n 3 ?计算排列逆序数的方法: ?设为个自然数的一个排列,考虑元素,如果比大且排在前面的数有个,就说这个元素的逆序数是,全体元素的逆序数的总和就是此排列的逆序数,即 1 2 n p p p ?n 1, 2, , n?( 1, 2, , ) i p i n ?? ip it 1 2 ( ) n p p p ?? 1 2 1 n n i i t t t t ?? ??????. ip 4 ?例 1 求下列排列的逆序数: ?(1);(2). ?解此排列为偶排列. ?(2)同理可得此排列的奇偶性由确定. 436251 ( 1) 21 n n ?? 436251 () = 0+ 1+ 0+ 3+ 1+ 5= 10 ?( 1) [ ( 1) 21] 0 1 2 ( 2) ( 1) 2 n n n n n n ??? ?????????? ? n5 ? 对换?定义 2 将一个排列中的某两个数的位置互换(其余的数不动),就得到了一个新排列, 称这样的变换为一次对换,将相邻两个数对换,称为相邻对换. ?定理 1 对排列进行一次对换,则改变其奇偶性. ?由定理 1可得下面的推论. ?推论 1奇排列调成自然(标准)排列的对换次数为奇数,偶排列调成自然(标准)排列的对换次数为偶数. 6 ?推论 2 全体元排列( )的集合中,奇、偶排列各占一半. n1n?7 行列式的概念 8 ? 二、三阶行列式?一、二阶行列式?求解二元一次方程组() 引入符号称为二阶行列式(( )的系数行列式),它代表一个数,简记为,其中数称为行列式的第(行标)行、第(列标)列的元素. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b ? ???? ??,, 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a ? ?? D det( ) ij D a ? ija ( 1, 2; 1, 2) i j ? ? i j D 9 ?当时,求得方程组() 的解为, 根据二阶行列式的定义,方程组() () 式右边的常数项所得到的行列式. 11 22 12 21 0 a a a a ? ? 1 22 12 2 1 11 22 12 21 b a a b x a a a a ??? 11 2 1 21 2 11 22 12 21 a b b a x a a a a ??? 1 12 1 1 22 12 2 2 22 , b a D b a a b b a ? ?? 11 1 2 11 2 1 21 21 2 a b D a b b a a b ? ??, ( 1, 2) j D j ? Dj 其中 10