线性代数课件第一章行列式.ppt

教材: 线性代数吴天毅等主编南开大学出版社教案作者:韩会磊 1第一章行列式?行列式的定义?行列式的性质?克莱姆( Cramer )法则主要内容: ?行列式按行(列)展开 2 §1·1 行列式定义用消元法解二元一次方程组: 得: )2()1( 12 22aa??? 21 12 22 11 12 222 11aaaa ababx???得: )1()2( 21 11aa??? 21 12 22 11 21 1 1122aaaa ababx???(2) (1) 22 22 1 21 12 12 1 11bxaxa bxaxa????)0( 21 12 22 11??aaaa 一、二阶和三阶行列式 22a 11a 12a 21a 分母为 21xx和的系数交叉相乘相减: 3 定义二阶行列式: 主对角线元素 21 12 22 11 22 21 12 11aaaaaa aa??图示记忆法例23 15?3)1(25????? 13 ? 4 用消元法解三元线性方程组: ?????????????? 33 33 2 32 1 31 23 23 2 22 1 21 13 13 2 12 1 11bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa可得 ix 的分母为(若不为零): 32 21 13 31 23 12 33 22 11aaaaaaaaa?? 31 22 13 33 21 12 32 23 11aaaaaaaaa???定义三阶行列式:33 32 31 23 22 21 13 12 11aaa aaa aaa 31 22 13 33 21 12 32 23 11 32 21 13 31 23 12 33 22 11aaaaaaaaa aaaaaaaaa??????+ - 图示记忆法 5 例解 601 504 321? 043)1(52601??????????58 ??例的充要条件是什么? 0114 01 01?a a1114 01 01 2??aa a1||??a0?)1(03642051??????????计算三阶行列式的例子: 6 对于数码 i s 和i t : 逆序数:一个排列中逆序的个数, 例求132 、436512 的逆序数解逆序数为偶数的排列称为偶排列, n 阶(级)排列:由 n个不同的数码 1,2, …n组成的有序数组 ntsiiiii??? 21132 是奇排列, 436512 是偶排列。但312是偶排列, 634512 、4365 21是奇排列。(二) 排列与逆序数)( tsii?大前小后叫逆序(反序))()( 2121nniiiiiiN???或记为: )132 (N 0?1?1?)436512 (N 0232????3? 10 ?为奇数的称为奇排列。可见: 交换任何两个元素( 对换)改变了排列的奇偶性! 7 再分析 P. 5 的表 1-1 排列 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 逆序无3221 21,31 31,32 32 ,31,21 逆序数 011223 奇偶性偶偶偶奇奇奇?一个对换改变排列的奇偶性; ? 3! 个排列中,奇、偶排列各占一半。 8 定理 1对换改变排列的奇偶性。证(1)设元素 i,j 相邻: B jiAB ijA ji????),(?若 i<j ,则新排列增加一个逆序; ?若 i>j ,则新排列减少一个逆序。—改变了奇偶性(2)设元素 i,j 不相邻: jBk Aik s? 1????????次相邻对换作将1si jiB k Ak s? 1???????次相邻对换作将sj iBk Ajk s? 1 共作了 2s+1 次相邻对换, 由( 1)知,排列改变了奇偶性。 9 定理 2 n个数码构成 n!个 n 级排列, 奇偶排列各占一半( n!/2 个)。证设有 p个奇排列, q个偶排列, p个奇排列?????????换对每个排列施以同一对 p个偶排列 qp?? q个偶排列?????????换对每个排列施以同一对 q 个奇排列 pq?? 2 !npq??? 10