中考数学专题最短距离问题分析.doc

卓育文化教育机构 22193720 22194312 路虽远,行则必至;事虽难,做则必成 1 最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终,是中考的热点问题,它主要考察学生对平时所学的内容综合运用,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型: Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型,这类模型又分为两种情况: (1) 归于“两点之间的连线中, 线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型。(2 )归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型。几何模型: 条件:如图, A 、B 是直线 l 同旁的两个定点. 问题:在直线 l 上确定一点 P ,使 PA PB ?的值最小. 方法:作点 A 关于直线 l 的对称点 A ?,连结 A B ?交l 于点 P , 则 PA PB A B ?? ?的值最小(不必证明). A BA ?′ P l 卓育文化教育机构 22193720 22194312 路虽远,行则必至;事虽难,做则必成 2 模型应用: (1 )如图 1 ,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点, P 是 AC BD ,由正方形对称性可知, B 与D 关于直线 AC ED 交 AC 于P ,则 PB PE ?的最小值是___________ ; (2 )如图 2,O⊙的半径为 2 ,点 A B C 、、在O⊙上, OA OB ?,60 AOC ? ?° ,P 是 OB 上一动点, 求 PA PC ?的最小值; . 解:(1) PB PE ?的最小值是 5 DE ?(2) PA PC ?的最小值是 2 3 A BEC BD 图1O B C 图2P 卓育文化教育机构 22193720 22194312 路虽远,行则必至;事虽难,做则必成 3 【典型例题分析】 1. 如图所示,正方形 ABCD 的面积为 12, ABE △是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点 P , 使 PD PE ?的和最小,则这个最小值为( ) A. 2 3 B. 2 6 C. 2 .如图,抛物线 2124 y x x ?? ??的顶点为 A ,与 y 轴交于点 B. (1) 求点 A 、点 B 的坐标; (2) 若点 P是 x 轴上任意一点,求证: PA-PB ≤ AB ; (3) 当 PA-PB 最大时,求点 P 的坐标. 解: (1) 令 x=0 ,得 y=2 ,∴ B(0, 2) ∵ 2 2 1 1 2 ( 2) 3 4 4 y x x x ?? ??????∴ A (-2, 3) (2) 证明: ⅰ. 当点 P是 AB 的延长线与 x 轴交点时, PA-P