3.4基本不等式教案.ppt

基本不等式制作人:龙里中学于薇 2 ba ab ??请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个““风车风车””图案? 图案? 赵爽弦图赵爽弦图 2002 年在北京举行的第 24届国际数学家大会会标思考:这会标中含有哪些几何图形? 思考:你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系? a b a b 2 2 + 问题 2:Rt△ABF,Rt △BCG,Rt △CDH,Rt △ADE 是全等三角形,它们的面积和是 S’= ———问题 1:在正方形 ABCD 中,设AF=a,BF=b, 则正方形的面积为 S= ————, 问题 3:S与S’有什么样的关系? 2 2 ? a b 2ab H G F E D A B C 2 2 a + b > 2ab 从图形中易得, s > s ’,即思考问题四: S, S’有相等的情况吗? 何时相等? 图片说明:当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点这时有 2 2 =2 a b ab ?结论: 一般地,对于任意实数 a、b,我们有当且仅当 a=b 时,等号成立 2 2 2 a b a b ? ??此不等式称为重要不等式思考: 你能利用作差比较法证明这个不等式吗? 那么 a 2 +b 2≥2 a b 那么 a + b ≥2 若a∈ R,b ∈R若 a>0 b>0 a b ,0,0??ba 如果, 代替,用代替用bbaa2 ba ab ??即( 0, 0) 2 a b ab a b ?? ??(当且仅当 a=b 时,等号成立) 基本不等式几何平均数≤算术平均数圆的半弦长≤半径基本不等式代数意义几何意义当且仅当 a =b 时,等号成立. 当且仅当 a=b 时,等号成立 2 2 2 ( a b ab a R ? ? ?、b) ( 0, 0) 2 a b ab a b ?? ??观察比较: (1)不同点:两个不等式的适用范围不同。(2)相同点: ①当且仅当 a=b 时,等号成立。②和与积的相互转换重要不等式基本不等式