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哈尔滨师范大学学年论文题目泰勒公式及其在解题中的应用学生郭永晶指导教师孙玉莉年级 2008 级 5班专业数学与应用数学系别数学系学院文理学院哈尔滨师范大学 2011 年4月论问题要本文较为详细介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念. 除介绍基本概念外, 还有相关定理及余项表达式. 在此基础上, 对泰勒公式在证明不等式和等式求极限, 极值和在近似计算中的应用进行了全面的总结. . 泰勒公式及其在解题中的应用郭永晶摘要: 本文介绍了泰勒公式及其几个常见函数展开式. 并主要介绍了求极限, 证明不等式, 判断级数敛散性, 进行近似计算, 求函数的幂级展开式, 求行列式的值, 证明根的唯一存在性, 判断函数的极值. 关键字: 泰勒公式极值极限一引言泰勒公式在数学分析中是非常重要的内容,可以说它是把复杂问题简单化的一把利剑, 泰勒公式在分析和研究一些数学问题上有广泛的应用. 二与泰勒公式有关的几种不同形式定义一:对于一般函数 f ,设它在点 0x 存在直到 n 阶的导数. 由这些导数构造一个 n 此多项式: )()(xfxT n?+!1 )( 0xf ?)( 0xx?+!2 )( 0xf ?? 2)( oxx?+…+! )( 0 )(n xf n)( 0xx?称为函数 f 在点 0x 处的泰勒多项式. 定理一:若函数 f 在点 0x 存在直至 n 阶导数,则有)()(xTxf n?+)) (( 0 nxxo?,即)()( 0xfxf?+f ?(x 0))( 0xx?+!2 )( 0xf ?? 2)( oxx?+…+! )( 0 )(n xf nnxx)( 0?+ o((x -x 0) n) 定义二:泰勒公式在 0 0?x 的特殊形式: )0()(fxf?+f ?(0)x +!2 )0(f ? 0x +…+! )0( )(n f nnx +)( nxo . 它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式定理二: (泰勒定理) 若函数 f 在?? ba, 上存在直至 n 阶的连续导函数,在?? ba, 内存在)1(?n 阶导函数,则对任意给定的 0,xx??? ba, , 至少存在一点???? ba, , 使得)()( 0xfxf?+f ?(x 0))( 0xx?+!2 )( 0xf ?? 20)(xx?+…+! )( 0 )(n xf nnxx)( 0?+ 10 )()( )!1( )( ??? n nxxn f?.(1) 定义三:上式也称泰勒公式,它的余项为)()()(xTxfxR nn??= )!1( )( )1(??n f n? 10)( ?? nxx , 0x??+) ( 0xx??()10(???), 称为拉格朗日余项,所以( 1 )式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式. 定义四:当 0 0?x 时,得到泰勒公式)0()(fxf?+f ?(0)x +!2 )0(f ? 2x +…+! )0( )(n f nnx +! )1( )( )1(??n xf n? 1?nx ( 0<?<1). 称为(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式. 三泰勒公式在解题中的应用 1 求极限例1 2240 cos lim xx x e x ???. 分析: 此为 00 型极限, 若用罗比达法求解, 则很麻烦, 这时可将 cos x 和 22 xe ?分别用泰勒展开式代替, 则可简化此比式. 解: 由 2 4 4 cos 1 ( ) 2! 4! x x x o x ? ???, 22224 2 ( ) 2 1 ( ) 2 2 xxx e o x ??? ???得 2 4 4 4 4 22 1 1 1 cos ( ) ( ) ( ) 4! 2 2! 12 x x e x o x x O x ?? ???????, 于是 2 4 4 2 4 4 0 0 1 ( ) cos 1 12 lim lim 12 x x x x O x x e x x ?? ?? ??? ??. 2 证明不等式例2当0x?时, 证明 31 sin 6 x x x ? ?. 证明: 取31 ( ) sin 6 f x x x x ? ??