浙江省丽水市缙云县工艺美术学校高三数学一轮复习 第五讲 二次函数的最值问题检测试题.doc

浙江省丽水市缙云县工艺美术学校高三数学一轮复****第五讲二次函数的最值问题检测试题二次函数 2 ( 0) y ax bx c a ? ???是初中函数的主要内容,也是高中学****的重要基础. 在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当0a?时,函数在2 bxa ??处取得最小值 244 ac b a ?, 无最大值;当0a?时, 函数在 2 bxa ??处取得最大值 244 ac b a ?,无最小值. 本节我们将在这个基础上继续学****当自变量 x 在某个范围内取值时,函数的最值问题. 同时还将学****二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用. 【例 1】当 2 2 x ? ??时,求函数 2 2 3 y x x ? ??的最大值和最小值. 分析: 作出函数在所给范围的及其对称轴的草图, 观察图象的最高点和最低点, 由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值. 解: ?时, min4y ??,当2x ??时, max5y?. 【例 2】当 1 2 x ? ?时,求函数 21 y x x ????的最大值和最小值. 解: ?时, min1y ??,当2x?时, max5y ??. 由上述两例可以看到, 二次函数在自变量 x 的给定范围内, 对应的图象是抛物线上的一段. 那么最高点的纵坐标即为函数的最大值, 最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置, 函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异. 下面给出一些常见情况: 【例 3】当0x?时,求函数(2 ) y x x ?? ?的取值范围. 解: 作出函数 2 (2 ) 2 y x x x x ?? ???在0x?内的图象. 可以看出:当 1x?时, min1y ??,无最大值. 所以,当 0x?时,函数的取值范围是 1y ??. 【例 4】当1 t x t ? ??时,求函数 2 1 5 2 2 y x x ? ??的最小值( 其中 t 为常数). 分析: 由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化, 所以需要比较对称轴与其范围的相对位置. 解: 函数 2 1 5 2 2 y x x ? ??的对称轴为 1x?.画出其草图. (1) 1t?时: 当 x t ?时, 2 min 1 5 2 2 y t t ? ??; (2) 1 1 0 1 t t t ? ?????时: 当1x?时, 2 min 1 5 1 1 3 2 2 y ? ?????; (3) 1 1 0 t t ? ???时: 当1 x t ? ?时, 2 2 min 1 5 1 ( 1) ( 1) 3 2 2 2 y t t t ? ???