中国矿业大学(徐州)03级数学分析试题(A卷).doc

中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 200 . (共 12页)第 1页数学分析(I) ( 答题时间 120 分钟) 班级__________ 姓名__________ 序号__________ 成绩__________ 一、计算下列各题(共 7 题每题 8 分共 56 分) )0,0( lim ?????aaaa nnn ,求 nnna ?? lim 。(提示:可利用结论 1 lim ??? nnc ,其中0?c 为常数) 2 .确定 ba, 使)(1 lim )( )1( )1(2Rxe bax exxf xp xpp??????????可导并求出)(xf ?。(提示:分 1?x ,1?x 和1?x 三种情况先求出极限) 中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 200 . (共 12页)第 2页 ??dxex )1 ln( lim 4 sin 00?????x dtt ] )1( cos 2 cos cos 1[ 1 lim nn xnn xn xn ????????(Rx?)。( 提示: 可转化为定积分) 中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 200 . (共 12页)第 3页 )1( sin lim x xxxe xx???。(提示:可使用 Taylor 公式) ??? 0 2 cos 1 sin dxx xx 。(提示:可作换元 tx???) 二( 10 分) 设)(xf 在区间 I 上有界,记)( inf ,)( sup xfmxfM IxIx ????,证明)()( sup ,xfxf Ixx????????mM??中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 200 . (共 12页)第 4页三( 10 分) 设f 为],[ba 上的非负连续函数,证明:如果 0)(?? badxxf ,则],[,0)(baxxf??。四( 12 分) 设)(xf 在],0[a 上可导,且????n axan afdxxfen 10) 1()()( 证明, ),0(a???使0)()(?????ff 。中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 200 . (共 12页)第 5页五( 12分) 用有限覆盖定理证明: 若函数 f 在闭区间],[ba 上连续,则f 在],[ba 上一致连续。附加题( 仅作参考)设f 在],[ba 上连续, 且对任一],[ba 上满足 0)()(??bgag 的连续函数 g 均有0)()(?? badxxgxf ,证明],[,0)(baxxf??。数学分析(I) 试题参考答案一、计算下列各题(共 7 题每题 8 分共 56 分) )0,0( lim ?????aaaa nnn ,求 nnna ?? lim 。(提示:可利用结论 1 lim ??? nnc ,其中0?c 为常数) 【解】取 0?满足a??? 00 ,由aa nn??? lim 知, ???NN ,当Nn?时, 00??????aaa n 从而中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 200 . (共 12页)第 6页 nnn naaa 00??????上式两边取极限并利用结论 1 lim ??? nnc (0?c 为常数) 和迫敛性得 1 lim ??? nnna 2. 确定 ba, 使)(1 lim )( )1( )1(2Rxe bax exxf xp xpp??????????可导并求出)(xf ?。(提示: 分1?x ,1?x 和1?x 三种情况先求出极限) 【解】易求得????????????1 1)1( 1)( 2 1 2xbax xba xxxf 首先)(xf 连续: 1)1()01()01(???????bafff 其导函数???????1 12)(xa xxxf ,又aff??????)01(,2)01( 由于导数极限定理: )01()1( ),01()1(??????????ffff ,令 12)01()01(??????????baff 此时(也可由导数的定义做) ???????112 1)( 2xx xxxf ,???????12 12)(x xxxf ??dxex x 【解】当 0?x 时,1Ce xedx xedxex xxxx???????????当0?x 时,2Ce xedx xedxex xxxx???????????由??dxex x 的连续性可得, 211 2121???????,这样?????????????????? 0 02xCe xe xCe xedxex xx xxx (C 为任意常数) 中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 200